1、4.5 函数的应用(二)4.5.2 用二分法求方程的近似解 复习导入 我们已经知道,函数()=+2 6在区间(2,3)内存在一个零点.进一步的问题是,如何求出这个零点呢?一个直观的想法是:如果能将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定的精确度的要求下,就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便,可以通过取区间中点的方法,逐步缩小零点所在的范围.新知探索 取(2,3)的中点2.5,用计算工具算得(2.5)0.084.因为(2.5)(3)0,所以零点在区间(2.5,3)内.再取区间(2.5,3)的中点2.75,用计算工具算得(2.75)0.512.因为(2.5)(2.75)0,所以零点在区间(2.5,
2、2.75)内.由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围变小了.如果重复上述步骤,那么零点所在的范围会越来越小.这样,我们就可以通过有限次重复相同的步骤,将零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间,区间内任意一点都可以作为函数零点的近似值.为了方便,我们把区间的一个端点作为零点的近似值.新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.54687
3、50.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 新知探索 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值(2,3)2.50.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53125-0.009(2.53125,2.5625)2.5468750.029(2.53125,2.546875)2.53906250.010(2.53125,2.5390625)2.535156250.001 例如,当精确度为0.0
4、1时,因为|2.5390625 2.53125|0.0078125 0.01,所以区间(2.53125,2.5390625)内任意一点都可以作为零点的近似值,也可以将=2.53125作为函数()=+2 6零点的近似值,也即方程+2 6=0的近似值.新知探索 对于区间,上图象连续不断且()()0的函数=(),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.注:判断一个函数能否用二分法的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.新知探
5、索 给定精确度,用二分法求函数=()零点0的近似值的一般步骤如下:1.确定零点0初始区间,,验证()()0.2.求区间(,)的中点.3.计算(),并进一步确定零点所在的区间:(1)若()=0(此时0=),则就是函数的零点;(2)若()()0(此时0 (,),则令=;(3)若()()0(此时0 (,),则令=.4.判断是否达到精确度:若|,则得到零点近似值(或);否则重复步骤24.由函数零点与相应方程解的关系,我们可用二分法来求方程的近似解.新知探索 辨析1:判断正误.(1)所有函数的零点都可以用二分法来求.()(2)函数()=|可以用二分法求其零点.()(3)精确度就是近似值.()答案:,.辨
6、析2:用二分法研究函数()=3+3 1的零点时,第一次经计算(0)0,可得其中一个零点0 _,第二次计算_,以上横线上应填的内容为().A.(0,0.5),(0.25)B.(0,1),(0.25)C.(0.5,1),(0.75)D.(0,0.5),(0.125)答案:A.例析 例2.借助信息技术,用二分法求方程2+3=7的近似解(精确度为0.1).解:原方程即2+3 7=0,令()=2+3 7,用信息技术画出函数=()的图象,并列出它的对应值表.012345678-6-2310214075142273观察图或表,可知(1)(2)0,说明该函数在区间(1,2)内存在零点0.例析 例2.借助信息技
7、术,用二分法求方程2+3=7的近似解(精确度为0.1).012345678-6-2310214075142273取区间(1,2)的中点1=1.5,用信息技术算得(1.5)0.33.因为(1)(1.5)0,所以0 (1,1.5).再取区间(1,1.5)的中点2=1.25,用信息技术算得(1.25)0.87.因为(1.25)(1.5)0,所以0 (1.25,1.5).同理可得,0 (1.375,1.5),0 (1.375,1.4375).由于|1.375 1.4375|=0.0625 0.1,所以,原方程的近似解可取为1.375.例析 由例2可见,用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同
8、的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.下图就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图.有兴趣的同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利用信息技术求方程的近似解.练习 题型一:二分法的概念 例1.下列函数中不能用二分法求零点的是().答案:用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用.故选B.练习 变1.关于“二分法”求方程的近似解,下列说法正确的是().“二分法”求方程的近似解一定可将=()在区间,内的所有零点得到 .“二分法”求方程的近似解有可能得不到=()在,内的零点 .应用“二分法”求方程的近似解,=()在区间,内有可能
9、无零点 D.“二分法”求方程的近似解也可能得到()=0在,内的精确解 答案:如果函数在某区间满足二分法,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可能求出其中的一个,A错误.二分法的实施满足零点存在定理,在区间一定存在零点,B错误.只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解,C错误.“二分法”求方程的近似解,甚至有可能得到函数的精确零点,D正确.故选D.练习 题型二:用二分法求方程的近似解 例2.用二分法求方程22+3 3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).解:令()=22+3 3,经计算,(0)=3 0,(0)(1)0.函数()在(0,1)内有零点,即方程22+3=3在(0,1)内有解.
10、取(0,1)的中点0.5,经计算(0.5)0,方程22+3 3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表.练习 例2.用二分法求方程22+3 3=0的一个正实数近似解(精确度0.1).(,)中点()()(+2)(0,1)0.5(0)0(0.5)0(0.5,1)0.75(0.5)0(0.75)0(0.5,0.75)0.625(0.5)0(0.625)0(0.625,0.75)0.6875(0.625)0(0.6875)0(0.6875,0.75)|0.6875 0.75|=00625 0.1 由于|0.6875 0.75|=00625 0.1,0.75可作为方程的一个正实数近似解.课堂小结&作业 课堂小结:(1)二分法的概念;(2)用二分法求函数零点近似值的步骤.作业:(1)整理本节课的题型;(2)课本P146的1-2题.