1、商开大联考20212022学年下学期期中考试高一数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章第八章第3节.一、选择题：本题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复平面内的点M（1，2）对
2、应的复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数在复平面对应点的特征进行判断即可.【详解】点M（1，2）对应的复数为故选：B2. 在ABC中，ABAC，D，E分别是AB，AC的中点，则（ ）A. 与共线B. 与共线C. 与相等D. 与相等【答案】B【解析】【分析】根据向量共线概念即可求解结果【详解】因为与不平行，所以与不共线，A错因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确；因为与不平行，所以与不相等，C错；因为，则D错故选：B3. 在中，则外接圆的半径为（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】直接使用正弦定理进行求解即可.【详解
3、】设R为外接圆的半径，故，解得故选：A4. 设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量与向量共线，由求解.【详解】因为，是两个不共线的向量，且向量与向量共线，所以，即，所以，解得，故选：D5. 下列说法错误的是（ ）A. 球体是旋转体B. 圆柱的母线平行于轴C. 斜棱柱侧面中没有矩形D. 用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台【答案】C【解析】【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断D作答.【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，
4、A正确；由圆柱结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；如图，斜平行六面体中，若平面，则侧面四边形是矩形，C不正确；由正棱台的定义知，D正确.故选：C6. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则必为（ ）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】根据余弦定理即可判断三角形形状.【详解】由余弦定理，得，因为，所以，所以为钝角三角形故选：A7. 在平行四边形中，E为上一点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的基本定理，再结合向量的线性运算即可求解.【详解】由题意得，又，所以故选:D.8. 在中，已知，则（
5、 ）A. 16B. 9C. 9D. 16【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；【详解】解：由余弦定理，可得，所以故选：C9. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米【答案】B【解析】【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.【详解】根据题意可知，.在中，由正弦定理得,即.故选:B10. 已知向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由向量垂直可求出
6、，进而可以计算出向量在向量方向上的投影向量.【详解】依题意，向量在向量方向上的投影向量为故选：A11. 如图，、为互相垂直的两个单位向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】用基底表示向量、，再利用平面向量数量积的运算可求得的值.【详解】由已知可得，则，所以，.故选：C.12. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有11个正三角形），这个过程称之为迭代如果在边长为27的正三角形三边
7、上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有7个正三角形），则图3中最小的正三角形面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得【详解】设最大正三角形的边长为，则，其内部迭代出的正三角形的边长分别为，由余弦定理得，同理得，最小的正三角形的面积故选：C二、填空题：本题共4小题.13. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为_【答案】1【解析】【分析】应用复数的除法求复数z即可.【详解】由题设，故z的虚部为1故答案为：1.14. 下列四个等式：； ； ；
8、 其中正确的是_（填序号）【答案】【解析】【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可.【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知是正确的，符合向量的加法法则，也是正确的，对于，向量的线性运算，结果应为向量，故错误，故答案为：15. 如图，是的直观图，其中，则的面积是_【答案】【解析】【分析】画出原图可得答案.【详解】由题意，得，的面积是故答案为：16. 已知圆内接四边形ABCD中，则_【答案】20【解析】【分析】根据圆的有关性质可知，由勾股定理求出，连接BD，利用余弦定理分别求出和，根据列方程，解方程即可.【详解】如图，在圆内接四边形中，所以，因为，所以，
9、又，所以，连接BD，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又因为，所以，则，由，解得.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知一圆锥的底面半径为6cm（1）若圆锥的高为8cm，求圆锥的体积；（2）若圆锥的母线长为10cm，求圆锥的表面积【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据圆锥体积公式，计算求解即可.（2）根据圆锥的表面积公式，计算求解即可.【小问1详解】据题意知，圆锥的体积【小问2详解】圆锥的底面面积；圆锥的侧面积故圆锥的表面积18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，（1）若，求B；（2）若，求b【答案】（1） （
10、2）或【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出或，分两种情况进行求解，得到或.【小问1详解】由余弦定理，得，又，小问2详解】由正弦定理，得，或当时，；当时，综上，或19. 已知复数是关于x的方程的一个解（1）求a的值；（2）若复数满足，求【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）把代入方程，然后计算即可求解.（2）根据共轭复数的定义，得到，进而可得，然后计算可求解.【小问1详解】由题意，得，即，所以，解得【小问2详解】由题意，得，故20. 如图，在中，（1）当，满足什么条件时，AC与BD互相垂直？（2）与有可能相等吗？为什么？【答案】（1） （2）有可能，理由见解析【
11、解析】【分析】（1）根据向量的加法和减法运算，用表示，进而可以得到AC与BD互相垂直时，需要满足的条件.（2）根据向量的模长公式，即可计算求解.【小问1详解】，若，则所以，得因此当时，【小问2详解】有可能，若，则故当时，21. 已知向量，（1）若，求；（2）若，求实数k的值；（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围【答案】（1）； （2）； （3）且.【解析】【分析】（1）根据共线向量的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可；（3）根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可.【小问1详解】因为向量，且，所以，解得，所以；【小问2详解】由题意，得，因为，所以，解得；【小问3详解】因为与的夹角是钝角，则且与不共线即且，所以且22. 已知中，D为BC中点，（1）若，求边AB的长；（2）若，求面积的最大值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得，则，利用，由余弦定理得，从而求出；（2）D为BC中点设，由余弦定理得，再利用基本不等式求最值可得答案【小问1详解】在中，由正弦定理，得，又，则，；由余弦定理，得，【小问2详解】D为BC中点，设，由余弦定理，得，则的面积，当且仅当时取等号，此时取得最大值，即的面积取得最大值，故的面积的最大值为
