1、课时作业梯级练四十一数列的综合应用一、选择题(每小题5分，共25分)1等差数列的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则数列的前6项和为()A17 B9 C10 D24【解析】选D.设的公差为d(d0)，因为a2，a3，a6成等比数列，所以aa2a6，即(a12d)2(a1d)(a15d)，所以d22a1d0，因为d0，所以d2a1212，所以数列的前6项和为S616(2)24.2图一为勾股树，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到图二是第1代勾股树，重复图二的作法，得到图三为第2代勾股树，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代勾股树所有正方形的个数与面积的和
2、分别为()A.2n1，n B2n1，n1C2n11，n D2n11，n1【解析】选D.当n1时，正方形有2021个，当n2时，正方形有202122个则第n代勾股树的正方形有2021222n2n11个，最大的正方形面积为1，当n1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，以此类推，所有正方形面积的和为n1.3设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24 C30 D32【解析】选D.设等比数列的公比为q，则a1a2a3a11，a2a3a4a1qa1q2a1q3a1qq2，因此，a6a7a8a1q5a1q6a1q7a1q5q532.4我国古代数学名著算法统宗中说：九
3、百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为()A75斤 B70斤 C65斤 D60斤【解析】选C.设第1个孩子分到的棉花为a斤，根据题意可知，从第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a为首项，以17为公差的等差数列，S88a17996，解得a65.5数列的各项都是正数，且数列是等差数列，若a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35【解析】选B.因
4、为数列是等差数列，所以log3an1log3anlog3d，所以3d，nN*，所以数列是等比数列，所以a5a6a4a7，又a5a6a4a718，所以a5a6a4a79，所以a1a10a2a9a4a7a5a69，所以log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log39510.二、填空题(每小题5分，共15分)6已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是，在自然情况下(没有外力介入，同时所有人都没有免疫力)，一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数它的简单计算公式是RO1确诊病例增长率系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时
5、间(单位：天).根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数是5天，根据以上RO公式计算，若甲得这种传染病，则4轮传播后由甲引起的得病的总人数约为_.【解析】由题意知，RO140%53，所以得病总人数为3323334120(人).答案：1207(2020泰州模拟)设函数f(x)1，若a，b，c成等差数列(公差不为零)，则f(a)f(c)_【解析】因为a，b，c成等差数列，所以2bac，f(a)f(c)11222.答案：28(2020如皋模拟)对于任意一个偶数m，都存在奇数n及其正整数t，使得mn2t，我们把n称为m的“奇因子”若数列的通项公式为ann22n22n，则该
6、数列的前n项的“奇因子”的倒数之和为_【解析】因为ann22n22n2n(4n21)，所以奇因子为4n21，所以奇因子的倒数为，即，其前n项和为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2021临沧模拟)已知数列an是公差不为0的等差数列,首项a1=1,且a1,a2,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=an+,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设数列an的公差为d,由已知得,=a1a4,即(1+d)2=1+3d,解得d=0或d=1.又d0,所以d=1,可得an=n.(2)由(1)得bn=n+2n,所以Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)
7、+(n+2n)=(1+2+3+n)+(2+22+23+2n)=+2n+1-2.10.已知数列an的前n项和Sn=2n+1+n-2.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=log2(an-1),求证:+1.【解析】(1)由得an=2n+1(n2),当n=1时,a1=S1=3符合上式,综上an=2n+1.(2)由bn=log2(an-1)=log22n=n,得+=+=+=1-0,m0且a8a7,则m3,故实数m的取值范围是.答案:4已知数列的通项公式为an(nN)，求其前30项中最大项的项数与最小项的项数之和【解析】an1，所以当n9时，an随着n的增大越来越小且小于1，当10n30时，an随着
8、n的增大越来越小且大于1，则前30项中最大项为a10，最小项为a9，则91019.5(2020胶州模拟)已知数列的前n项和为Sn，Snann2，nN*.(1)证明：数列an1为等比数列；(2)若数列满足：anbn1bn1，b11，证明：bn2.【证明】(1)由题知：Snann2，Sn1an1n1(n2)，两式相减得2anan11(n2)，所以2(an1)an11(n2)，(n2)，又因为S1a13，所以a1，因为a110，所以数列an1是首项为，公比为的等比数列(2)由(1)知an1，得an1，所以an1bn1bn，所以bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)1，所以bn22.1在进行1
9、23100的求和运算时，德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法已知数列an，则a1a2am2 016()A504 B504Cm504 D2m504【解析】选B.依题意，记Sa1a2am2 016，则S，S，两式相加得2S，则S504.【加练备选拔高】已知数列的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn,满足a1=2,3Sn=(n+m)an,(mR,nN* )且anbn=. 若对任意nN*,Tn恒成立,则实数的最小值为_.【解析】因为3Sn=(n+m)an,令n=1有3S1=a1,可得m=2,所以3Sn=an,当n2时,
10、3Sn-1=an-1,故3an=an-an-1,(n-1)an=(n+1)an-1,即=,=,故为常数列,所以=,又a1=2,故=1,an=n(n+1),又anbn=,所以bn=,故Tnb1b2bn，又对任意nN*，Tn恒成立，故，故的最小值为.答案：2(2020上海模拟)某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足In11.02In0.20；策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足In11.08In0.46
11、；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除(1)设第一周的虫害指数I11，8，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？(2)设第一周的虫害指数I13，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【解析】(1)由题意可知，使用策略A时，I21.02I10.20；使用策略B时，I21.08I10.46.令1.02I10.200I1，即当I1时，使用策略B第二周严重程度更小；当I1时，使用两种策略第二周严重程度一样；当I1时，使用策略A第二周严重程度更小(2)由(1)可知，最优策略为策略B，即In11.08In0.46，In11.08，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以In1.08n1，即In1.08n1，令In1，可得n9，所以虫害最快在第9周解除
