1、2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图象(选学)1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()答案:B2.下列函数既是奇函数又是增函数的为()A.y=x+1B.y=-x3C.y=D.y=x|x|解析:选项A为一次函数,不是奇函数,是增函数;选项B是奇函数,不是增函数;选项C是反比例函数,为奇函数,不是增函数;选项D,去绝对值号,变为分段函数,符合题意.答案:D3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()A.4B.0C.2mD.-m+4解析:由已知,得f(x)+f(-x)=4,故f(-5)+f(5)=4.答案:A4.设偶函数f(x)满足f
2、(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)0的解集为()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x2解析:当x0时,令f(x)=2x-40,所以x2.又因为函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)0的解集为x|x2.将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位长度即得函数y=f(x-2)的图象,故f(x-2)0的解集为x|x4.答案:B5.设f(x)在R上既是减函数又是奇函数,若x1+x20,x2+x30,x3+x10,则()A.f(x1)+f(x2)+f(x3)0B.f(x1)+f(x2)+f(x3)f(x3)解析:x1+x20,x1-x2.又f(x)在R上既是减函数又是奇函数,f(x1)
3、f(-x2)=-f(x2),f(x1)+f(x2)0.同理可得f(x2)+f(x3)0,f(x1)+f(x3)0.2f(x1)+2f(x2)+2f(x3)0.f(x1)+f(x2)+f(x3)0.答案:B6.如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数,且最小值是5,那么f(x)在区间-7,-3上的最(填“大”或“小”)值为.解析:由题意知f(3)=5,根据奇函数在对称区间上的单调性一致并结合图象可得f(x)在-7,-3上为增函数,且在-3处取得最大值,f(-3)=-f(3)=-5.答案:大-57.设函数y=f(x)是偶函数,它在0,1上的图象如图所示,则它在-1,0上的解析式为.解析:由题意知f
4、(x)在-1,0上为一线段,且过(-1,1),(0,2),设f(x)=kx+b(k0),将(-1,1),(0,2)代入得k=1,b=2.答案:f(x)=x+28.已知函数f(x)=是奇函数,则m=.解析:当x0,f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x)=-x2-2x.f(x)=x2+2x=x2+mx,即m=2.答案:29.已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,bR)为R上的偶函数.(1)求a,b的关系式;(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.解:(1)f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,f(-x)=f(x
5、)对于xR恒成立,(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,即2(a+b)x=0对于xR恒成立,a+b=0,即b=-a.(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;当a0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=a.综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为0;当a0时,方程f(x)=0的解集为-a,a.10.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,函数的解析式为f(x)=-1.(1)求f(-1)的值;(2)求当x0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在(0,+)上是减函数.(1)解:因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(
6、1)=2-1=1.(2)解:当x0,所以f(-x)=-1.又f(x)为偶函数,所以当x0时,f(x)=f(-x)=-1=-1.(3)证明:设x1,x2是(0, +)上的任意两个不相等的实数,且0x10,y=f(x2)-f(x1)=-1-.因为x1-x2=-x0, 所以y0.因此f(x)=-1在(0,+)上是减函数.11.已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0,f=0.(1)求f(0),f()的值;(2)求证:y=f(x)是偶函数.(1)解:对任意x,yR,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0).又f(0)0,f(0)=1.令x=y=,则有f()+f(0)=2f,f=0,f()+f(0)=0.f()=-1.(2)证明:令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(-y)=f(y).y=f(x)是偶函数.
