1、课时作业梯级练十三变化率与导数、导数的计算 1.设函数f(x)=1+sin 2x,则 =()A.-2B.0C.3D.2【解析】选D.因为f(x)=2cos 2x,所以 = =f(0)=2.2.曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为()A.y=-x+3B.y=x+1C.y=-2x+4D.y=2x【解析】选B.设y=f(x),则f(x)=2x- ,所以f(1)=2-1=1,所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1(x-1),即y=x+1.3.(2021泸州模拟)已知f (x)是函数f(x)的导数,f(x)=f (1)2x+x2,则f (2)=()A. B. C. D.-2【解析】选C.因为f
2、(x)=f(1)2xln 2+2x,所以f(1)=f(1)2ln 2+2,解得f(1)= ,所以f(x)= 2xln 2+2x,所以f(2)= 22ln 2+22= .4.(2021西安模拟)函数f(x)= 的图象在点(0,f(0)处的切线的倾斜角为()A. B. C. D. 【解析】选B.因为f(x)= ,则k=f(0)=1,则倾斜角为 .5.设函数f(x)在R上可导,f(x)=x2f(1)-2x+1,则f(a2-a+2)与f(1)的大小关系是()A.f(a2-a+2)f(1)B.f(a2-a+2)=f(1)C.f(a2-a+2)1 ,所以f(a2-a+2)f(1).6.将函数y=ln(x+
3、1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角(0,),得到曲线C,若对于每一个旋转角,曲线C都仍然是一个函数的图象,则的最大值为()A.B. C. D. 【解析】选D.函数y=ln(x+1)(x0)的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于90时,其图象都依然是一个函数图象,因为当x0时,y= 是减函数,且0f(1)B.f(-1)=f(1)C.f(-1)f(1).【知识拓展】对抽象函数求导的解题策略在求导问题中,常涉及一类解析式中含有导数值的函数,即解析式类似为f(x)=f(x0)x+sin x+ln x(x0为常数)的函数,解决这类问题的关键是明确f(x0)是常
4、数,其导数值为0.因此先求导函数f(x),令x=x0,即可得到f(x0)的值,进而得到函数解析式,求得所求的导数值.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018全国卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.【解析】y= ,k= =2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x【加练备选拔高】 (2021潮州模拟)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.【解析】函数的导数为f(x)=3ln x+1+x =3ln x+4,所以在(1,1)的切线斜率为k=4,所以切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.答案:4x-y-3=09.(20
5、21丽江模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf(2)+ln x,则f(2)=.【解析】因为f(x)=x2+3xf(2)+ln x,所以f(x)=2x+3f(2)+ ,所以f(2)=4+3f(2)+ =3f(2)+ ,所以f(2)=- .答案:- 10.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),F(x)= ,若F(x)的图象在x=0处的切线方程为y=-2x+c,则b=,函数f(x)的最小值是.【解析】因为f(x)=2x+b,所以F(x)= .所以F(x)= .又F(x)的图象在x=0处的切线方程为y=-2x+c.所以 解得b=c=4.故f(x)=(x+2
6、)20,则f(x)min=0.答案:40 1.(5分)下列结论正确的是()A.在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同B.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线C. =cos D.ln(-x)= 【解析】选D.对于A,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线,点P在曲线上,而过点P(x0,y0)的切线,点P可以在曲线外.对于B,如图所示,直线与曲线只有一个公共点,但不是切线.对于C, =0,D正确.2.(5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=
7、e-1,b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xln x,则f(x)=aex+ln x+1,f(1)=ae+1=2,得a= =e-1.f(1)=ae=2+b,可得b=-1.3.(5分)(2020太原模拟)已知点P是直线y=2x-4上的动点,点Q是曲线y=x+ex上的动点,则|PQ|的最小值为()A.5B. C.e+3D. 【解析】选B.设曲线y=x+ex上切点为M(x0,x0+ ),y=x+exy=1+ex,k=1+ =2x0=0M(0,1),M(0,1)到直线y=2x-4的距离为 ,即|PQ|的最小值为 .4.(10分)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.(1)在曲线
8、y=x2上分别求过点P,Q的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y=2x,所以过点P,Q的切线斜率分别为-2,4,所以过点P的切线方程为:y-1=-2(x+1);即y=-2x-1;过点Q的切线方程为:y-4=4(x-2);即y=4x-4.(2)设切点为 ,kPQ= =1,因为切线和直线PQ平行,且切线的斜率为2x0,所以2x0=1,所以x0= ,所以切点为 ,所以切线方程为y- =x- ,即y=x- .5.(10分)已知点M是曲线y= x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角的取值范围.【解析】(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1-1,所以当x=2时,y=-1,y= ,所以斜率最小的切线过点 ,斜率k=-1,所以切线方程为3x+3y-11=0.(2)由(1)得k-1,所以tan -1,又因为0,),所以 .故的取值范围为 .
