1、专题九平面解析几何9.1直线与圆应用篇知行合一应用一构建直线、圆模型解决运动实践问题1.(2021四川大学附中模拟,15)如图,在直角梯形ABCD中,ABAD,AD=DC=2,AB=6,动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆上运动,设AP=mAD+nAB(m,nR),则m+n的取值范围是.答案1,53解析以A为坐标原点,直线AB为x轴,直线AD为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,0),D(0,2),C(2,2),B(6,0),则直线BD的方程为x+3y-6=0,点C到直线BD的距离d=210=105,所以以C为圆心且与BD相切的圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=25.设P(x,
2、y),则AP=(x,y),又AD=(0,2),AB=(6,0),AP=mAD+nAB(m,nR),所以(x,y)=(6n,2m),则x=6n,y=2m,所以n=x6,m=y2,所以m+n=x6+y2,因为P在圆上,所以(x-2)2+(y-2)2=25.设直线x6+y2-b=0,则该直线与圆(x-2)2+(y-2)2=25有交点,则圆心C(2,2)到直线x6+y2-b=0的距离为26+22-b162+12225,解得1b53,则1x6+y253,所以1m+n53.2.(2022届北京市中关村中学开学测试,14数学探究)已知方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:该
3、曲线关于y轴对称;该曲线关于原点对称;该曲线不经过第三象限;该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中不正确的是.答案解析以-x代替x,得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,曲线不关于y轴对称,故中说法错误;以-x代替x,-y代替y,得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,曲线不关于原点对称,故中说法错误;当x0,y0时,(x-1)(x-2)(x-3)0,显然方程不成立,曲线不经过第三象限,故中说法正确;令x=-1,得y=24,即(-1,24)符合题意,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也符合题意,曲线上不止三个点的横、纵坐标都是整数,故中说法错误.3
4、.(2021北京定位考试,15数学探究)已知曲线W1:x2+y2=m2,W2:x4+y2=m2,其中m0.当m=1时,曲线W1与W2有4个公共点;当0m1,曲线W1围成的区域面积等于W2围成的区域面积;m0,曲线W1围成的区域内整点(即横、纵坐标均为整数的点)个数不少于曲线W2围成的区域内整点个数.其中,所有正确结论的序号是.答案解析首先需知道W1,W2都关于x轴,y轴对称,关于原点中心对称.对于,曲线W1:x2+y2=1,W2:x4+y2=1,W2过轴上4个点,(0,1),(1,0),当x(x0)相同时,W2的|y|更大,曲线W2相对于曲线W1凸出,正确;对于,当x=0时,纵坐标相同,当x0
5、时,W2的|y|更大,当y=0时,W2的|x|更大.所以曲线W1围成的区域面积小于曲线W2围成的区域面积,错误;对于,当m=1时,曲线W1围成的区域面积小于W2围成的区域面积,当m无穷大时,曲线W2完全在曲线W1里,曲线W1围成的区域面积大于W2围成的区域面积,即随着m的增加,一定有一个时刻使两曲线围成的面积相等,正确;对于,当01时,若x相同,则y12y22,即W1中整点个数大于W2中整点个数.正确.故答案为.应用二构建直线、圆模型解决生活实践问题1.(2012北京,8,5分实际生活)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为()A
6、.5B.7C.9D.11答案C前m年的年平均产量为Smm,由各选项知只需求S55,S77,S99,S1111的最大值,问题可转化为求图中4个点A(5,S5),B(7,S7),C(9,S9),D(11,S11)与原点连线的斜率的最大值.由图可知kOC=S99最大,即前9年的年平均产量最高.故选C.2.(2017北京,14,5分实际生活)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q
7、3中最大的是;记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案Q1p2解析设线段AiBi的中点为Ci(xi,yi).由题意知Qi=2yi,i=1,2,3,由题图知y1最大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.由题意知pi=2yi2xi=yixi,i=1,2,3.yixi的几何意义为点Ci(xi,yi)与原点O连线的斜率.比较OC1,OC2,OC3的斜率,由题图可知OC2的斜率最大,即p2最大.创新篇守正出奇创新存在性问题1.(2022届内蒙古包头调研,20设问创新)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆心C
8、1的坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解析(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆心C1的坐标为(3,0).(2)设M的坐标为(x,y),因为点M为弦AB的中点,连接C1M,则C1MAB,所以kC1MkAB=-1,即yx-3yx=-1,整理得x-322+y2=94,当直线l与圆C1相切时,易得切点的横坐标为53,当点M与圆心C1重合,即直线l过圆心C1时,点M的横坐标取得最大值3,又直线l与圆C1交于不同的两点,所以点M的横坐标的取值范围为53x3.故轨迹C的方程为x-322+y2=94530,R0),由题意知|3a+7|32+(-4)2=R,a2+3=R,解得a=1或a=138.又S=R20,解得k1+263.又x1+x2=-6k-21+k2,y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2.由已知得OD=OA+OB=(x1+x2,y1+y2),MC=(1,-3).假设ODMC,则-3(x1+x2)=y1+y2,36k-21+k2=2k+61+k2,解得k=34-,1-2631+263,+,假设不成立,故不存在这样的直线l.5
