1、曲线与方程 211&212 曲线与方程 求曲线的方程预习课本 P3436,思考并完成以下问题1曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么?2求曲线方程的一般步骤是什么?新知初探1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线 C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y)0 的实数解建立了如下的关系:曲线上点的坐标都是;以这个方程的解为坐标的点都是那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点2求曲线的方程的步骤小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”)(1)过点 P(x0,y0)斜率为 k 的直线的方程是yy0 xy0
2、k()(2)若点 P(x0,y0)在曲线 C 上,则有 f(x0,y0)0()(3)以 A(0,1),B(1,0),C(1,0)为顶点的ABC 的 BC 边上中线的方程是 x0()答案:(1)(2)(3)2下列各组方程中表示相同曲线的是()Ax2y0 与 xy0 B xy0 与 x2y20Cyx 与 yx2xDxy0 与 ylg 10 x答案:D答案:B4若点 P(2,3)在曲线 x2ky21 上,则实数 k_答案:133动点 P 到点(1,2)的距离为 3,则动点 P 的轨迹方程为()A(x1)2(y2)29 B(x1)2(y2)29C(x1)2(y2)23D(x1)2(y2)23曲线的方程
3、与方程的曲线的概念典例 分析下列曲线上的点与相应方程的关系:(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系;(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系;(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系解(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解;但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此,|x|2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5;但以方程 xy5 的解为坐标的点与两
4、坐标轴的距离之积一定等于 5因此,与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0;反之,以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件,正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则活学活用命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解”是真命题,下列命题中正确的是()A方程 f(x,y)0 的曲线是 CB方
5、程 f(x,y)0 的曲线不一定是 CCf(x,y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x,y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析:选 B“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)0 的解”,但“以方程 f(x,y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上,故 A、C、D 都不正确,B 正确曲线与方程的判定问题典例 下列方程分别表示什么曲线:(1)(xy1)x10;(2)2x2y24x2y30解(1)由方程(xy1)x10 可得x10,xy10 或x10,x10,即 xy10(x1)或 x1故方程表示一条射线 xy10(x1)和一条直线 x1(2)对方程左边配方得 2(x1)2(y1)
6、202(x1)20,(y1)20,2x120,y120,解得x1,y1.从而方程表示的图形是一个点(1,1)判断方程表示什么曲线,常需对方程进行变形,如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式,然后根据化简后的特点判断特别注意,方程变形前后应保持等价,否则,变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外,当方程中含有绝对值时,常采用分类讨论的思想已知方程 x2(y1)210(1)判断点 P(1,2),Q(2,3)是否在此方程表示的曲线上;(2)若点 Mm2,m 在此方程表示的曲线上,求 m 的值活学活用解:(1)12(21)210,(2)2(31)2610,点 P 在方程 x2(
7、y1)210 表示的曲线上,点 Q 不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2)因为 xm2,ym 适合方程 x2(y1)210,即m22(m1)210,解得 m2 或 m185 所以 m 的值为 2 或185 典例 已知圆 C:x2(y3)29,过原点作圆 C 的弦 OP,求 OP 的中点 Q 的轨迹方程求曲线的方程解 法一 直接法如图所示,连接 QC,因为 Q 是 OP 的中点,所以OQC90设 Q(x,y),由题意,得|OQ|2|QC|2|OC|2,即 x2y2x2(y3)29,所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2y32294(去掉原点)法二 定义法如图所示,因为 Q 是 OP
8、 的中点,所以OQC90,则 Q 在以 OC 为直径的圆上故 Q 点的轨迹方程为 x2y32294(去掉原点)法三 代入法设 P(x1,y1),Q(x,y),由题意得xx12,yy12,即x12x,y12y,又因为 x21(y13)29,所以 4x24y3229,即 x2y32294(去掉原点)直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法,对于此类问题,在解题过程中,最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围,一定要慎重分析和高度重视 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方
9、程活学活用解:法一:设点 M 的坐标为(x,y)M 为线段 AB 的中点A 点坐标是(2x,0),B 点坐标是(0,2y)l1,l2 均过点 P(2,4),且 l1l2,PAPB,当 x1 时,kPAkPB1而 kPA 4022x 21x,kPB42y20 2y1,21x2y1 1,整理,得 x2y50(x1)当 x1 时,A,B 点的坐标分别为(2,0),(0,4),线段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x2y50,综上所述,点 M 的轨迹方程是 x2y50法二:设 M 的坐标为(x,y),则 A,B 两点坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接 PMl1l2,2|PM|AB|而|PM|x22y42,|AB|2x22y2,2 x22y424x24y2化简,得 x2y50,即为所求轨迹方程 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”(单击进入电子文档)