1、7.3基本不等式及其应用一、选择题1.(2021河南信阳模拟,3)下列不等式恒成立的是()A.a2+b22abB.a2+b2-2abC.a+b-2|ab|D.a+b2|ab|答案B对于A,由(a-b)20,知a2+b22ab,故A错误;对于B,由(a+b)20,知a2+b2-2ab,故B正确;对于C,当a=0,b=-1时,a+b=-1,-2|ab|=0,此时a+b2|ab|,故D错误.故选B.2.(2021河南焦作期中,2)设0ab1且a+b=1,则下列四个式子中最小的是()A.aB.bC.2abD.a2+b2答案A0ab1且a+b=1,0a12b2ab,四个选项中只需比较2ab与a的大小.2
2、ab-a=a(2b-1)0,2aba,a最小.思路分析根据条件可得出0a12b2ab,然后作差即可得出2aba,从而可得答案.3.(2022届江西上饶期中,8)已知x,y0,且3x+2y=1,则3x+2y的最小值是()A.25B.52C.20D.25答案D因为3x+2y=(3x+2y)1=(3x+2y)3x+2y=9+4+6yx+6xy.因为x0,y0,所以yx0,xy0,所以3x+2y13+26yx6xy=13+12=25.当且仅当6yx=6xy,即x=y时取等号,所以3x+2y的最小值为25.故选D.4.(2022届江西新余月考,10)已知实数a0,b0,1a+1+1b+1=1,则a+2b
3、的最小值是()A.32B.22C.3D.2答案Ba+2b=(a+1)+2(b+1)-3=(a+1)+2(b+1)1a+1+1b+1-3=a+1b+1+2(b+1)a+122,当且仅当a+1b+1=2(b+1)a+1时“=”成立,a+2b的最小值为22.5.(2022届陕西名校联盟,8)已知m,nR,且m+n2=1,则9m+3n的最小值为()A.4B.6C.8D.9答案Bm+n2=1,2m+n=2,9m+3n=32m+3n232m3n=232m+n=6,当且仅当2m=n,即m=12,n=1时,等号成立.故选B.6.(2022届昆明模拟,9)若直线ax+by-2=0(a,b0)始终平分圆x2+y2
4、-2x-4y-16=0的周长,则1a+2b的最小值为()A.72B.4C.92D.32答案C由已知得直线ax+by-2=0过圆心(1,2),a+2b-2=0,即a+2b=2.a0,b0,1a+2b=121a+2b(a+2b)=121+2ba+2ab+4=52+ba+ab52+2baab=92(当且仅当a=b时取等号).7.(2021山西一模,7)已知a,b,c为正实数,且a4,ab+ac=4,则2a+2b+c+32a+b+c的最小值是()A.8B.6C.4D.2答案Aab+ac=4,a4,b+c=4a,2a+2b+c+32a+b+c=2a+a2+32a+4a=2a+a2+162a+a2216=
5、8,当且仅当2a+a2=162a+a2,即2a+a2=4,即a=4+23时取等号,2a+2b+c+32a+b+c的最小值为8.故选A.8.(2022届人大附中统练一,8)已知函数f(x)=|2x-2|,若f(a)=f(b)(ab),则a+b的取值范围是()A.(-,1)B.(-,2)C.(1,+)D.(2,+)答案Bf(x)=|2x-2|=2-2x,x1,2x-2,x1,不妨令ab,则由题意得a122a2b=22a+b,2a+b4=22,故a+b0,b0,a+b=1,则下列选项中错误的是()A.ab的最大值为14B.9a+4b的最小值是25C.ab+1ab的最小值为2D.(a+1)2+(b+1
6、)2的最小值为92答案C对于A,aba+b22=14,当且仅当a=b=12时取等号,故A正确;对于B,因为a0,b0,a+b=1,所以9a+4b=9a+4b(a+b)=13+9ba+4ab13+29ba4ab=25,当且仅当9ba=4ab,a+b=1,即a=35,b=25时取等号,故B正确;对于C,由A可知令ab=t,t0,14,则y=t+1t在t0,14上为减函数,所以在t=14时,ab+1ab取最小值174,故C不正确;对于D,(a+1)2+(b+1)2=a2+b2+2(a+b)+2=a2+b2+42a+b22+4=92,当且仅当a=b=12时取等号,故D正确.故选C.二、填空题10.(2
7、022届北京市八一学校10月月考,12)函数y=x+4x-1(x1)的最小值为.答案5解析x1,x-10,y=x-1+4x-1+12(x-1)4x-1+1=5,当且仅当x=3时,等号成立.所以函数y=x+4x-1(x1)的最小值为5.11.(2022届湖北九师联盟11月质量检测,16)已知a0,b0,且a+|b|=3,则9a+b+3|b|的最小值为.答案3+23解析9a+b+3|b|=9a+3|b|+b|b|,当b0时,b|b|=1,当b0时,b|b|=-1.9a+3|b|=139a+3|b|(a+|b|)=1312+9|b|a+3a|b|13(12+63)=4+23,当且仅当9|b|a=3a|b|,即a=333+1,|b|=33+1时等号成立,所以当a=333+1,b=-33+1时,9a+b+3|b|取得最小值,且最小值为3+23.
