1、5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1.(2022届安徽名校联盟11月联考,3)四边形ABCD中,AD=BC,(AB+AD)(AB-AD)=0,则这个四边形是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形答案A由于AD=BC,因此ADBC且AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.连接AC,BD,因为AB+AD=AC,AB-AD=DB,(AB+AD)(AB-AD)=0,所以ACDB=0,得ACDB,所以四边形ABCD是菱形,故选A.2.(2022届河北邢台“五岳联盟”部分重点学校期中,2)若向量a=(1,7),b=(14,-2),c=(-1,1),则()A.ab且
2、ab=6B.ab且ac=6C.ab且ac=-6D.ab且ac=-6答案B由题意得ab=0,ab,又ac=1(-1)+71=6,故选B.3.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,3)已知向量m=(3,5),n=(9,7),则()A.mnB.mnC.m(m+n)D.(2m-n)(m+n)答案D由题意知,2m-n=(-3,3),m+n=(12,12),(2m-n)(m+n)=-312+312=0,(2m-n)(m+n),故选D.4.(2021百校大联考(六),9)已知向量a=(3,100),若a=(3,2)(,R),则=()A.50B.3C.150D.13答案C根据题意得a=(3,100)=(3,
3、2),所以2=100,所以=150,故选C.5.(2021四川南充3月测试,5)如图,在ABC中,AB+AC=2AD,E为AD的中点.若EB=xAB+yAC,则()A.y=3xB.x=3yC.y=-3xD.x=-3y答案D在ABC中,由AB+AC=2AD,得D为BC的中点.因为E为AD的中点,所以EB=-12(BA+BD)=-12BA-14BC=12AB-14(AC-AB)=34AB-14AC,又EB=xAB+yAC,所以x=34,y=-14,所以x=-3y.故选D.6.(2022届四川绵阳调研(一),4)设D,E为ABC所在平面内两点,AD=DC,CB=2BE,则()A.DE=AB+32AC
4、B.DE=-32AB+ACC.DE=AB-32ACD.DE=32AB-AC答案D由题意知,DE=DC+CE=12AC+32CB=12AC+32(AB-AC)=32AB-AC,故选D.7.(2022届陕西顶级名校10月月考,9)在ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=3DB,CD=14CA+CB,则=()A.14B.-14C.-34D.34答案D由题意知CD=CA+AD=CA+34AB=CA+34(CB-CA)=14CA+34CB,又知CD=14CA+CB,所以=34,故选D.8.(2021重庆一模,7)五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中,以A,B
5、,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且|PT|AT|=5-12,若ES-AP=BQ(R),则=()A.5+12B.5-12C.-5+12D.1-52答案D根据图形可知ES=RC,AP=QC,故ES-AP=RC-QC=RC+CQ=RQ,又|RQ|=|PT|,|BQ|=|AT|,故RQ=5-12QB,=1-52.9.(2022届河南南阳名校10月月考,11)如图,在ABC中,点P满足BP=3PC,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若AM=AB,AN=AC(0,0),则+的最小值为()A.32+1B.22+11C.32D.52答案A连接AP.在ABC中,BP=BA+AP,PC=P
6、A+AC,BP=3PC,-AB+AP=3(AC-AP),即AP=34AC+14AB,AM=AB,AN=AC(0,0),AP=34AN+14AM,M、P、N三点共线,34+14=1(0,0),+=(+)34+14=1+34+41+2344=32+1,当且仅当=3时取“=”.即+的最小值为32+1.故选A.二、填空题10.(2022届百师联盟9月一轮复习联考一,15)在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,E为CD的中点,若EF=2FB,AF=AB+AD,则+=.答案76解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(6,0),D(0,4),E(3,4).由EF=2FB得EF=23EB.设F(
7、x,y),则EF=(x-3,y-4)=23(3,-4),解得x=5,y=43,则F5,43,则AF=5,43,又AF=AB+AD=(6,4),所以=56,=13,故+=76.11.(2022届黑龙江顶级名校联考(二),15)如图,O是ABC的重心,AB=a,AC=b,D是边BC上一点,且BD=3DC,OD=a+b,则+=.答案13解析如图,延长AO交BC于E,由O为ABC的重心知E为BC的中点,且AO=2OE,AE=12(AB+AC),由BD=3DC,得D是BC的四等分点且靠近点C,则OD=OE+ED=13AE+14BC=1312(AB+AC)+14(AC-AB)=-112AB+512AC=-
8、112a+512b,=-112,=512,+=13.12.(2022届北京十三中9月月考,13)已知点P是边长为1的正方形ABCD内及边界上一点,实数x,y满足AP=xAB+yAD.当APAB取得最大值时,数对(x,y)可以是.答案(1,0)(答案不唯一)解析以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,1),AB=(1,0),AD=(0,1),AP=xAB+yAD=(x,y),P(x,y),点P是边长为1的正方形ABCD内及边界上一点,0x1,0y1,APAB=x,当x=1时,APAB取得最大值,此时0y1,即P在边BC上,数对(x,y)可以是(1,0).(
9、答案不唯一,符合(1,y)(0y1)即可)三、解答题13.(2022届河南六市10月联考,20)在ABC中,AB=3,AC=6,BN=2NA,BC=3BM,直线AM与直线CN相交于点P,AP=AM.(1)求实数的值;(2)若|AP|=67,求BAC的大小.解析(1)根据题意得C,P,N三点共线,故可设AP=mAN+(1-m)AC.因为BC=3BM,所以AM=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC.因为BN=2NA,所以AN=13AB.又AP=AM=mAN+(1-m)AC,所以AM=mAN+1-mAC=m3AB+1-mAC,所以m3=23,1-m=13,则m=2,1-m=3,解得=37.(2)因为|AP|=67,所以|AM|=2.即AM2=23AB+13AC2,则4=49AB2+19AC2+49ABAC,故4=4+4+8cosBAC,得cosBAC=-12,故BAC=23.5
