1、专题十三数系的扩充与复数的引入考点一复数的概念1.(2019课标文,2,5分)设z=i(2+i),则z=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,z=-1-2i,故选D.解题关键正确理解共轭复数的概念是求解的关键.2.(2017课标文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),
2、位于第三象限.故选C.3.(2017北京理,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,-1)C.(1,+)D.(-1,+)答案B本题考查复数的运算.复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,a+10,a-1.故选B.4.(2017课标理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.12B.22C.2D.2答案C本题考查复数的运算及复数的模.(1+i)z=2i,z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2(1+i)2=1+i.|z|=12+12=2.一题多解(1+i
3、)z=2i,|1+i|z|=|2i|,即12+12|z|=2,|z|=2.5.(2017课标文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)答案C本题考查复数的运算和纯虚数的定义.A.i(1+i)2=i2i=-2;B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;C.(1+i)2=2i;D.i(1+i)=-1+i,故选C.6.(2016课标文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=()A.-3B.-2C.2D.3答案A(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,a-2=2a+1,解得a=-3
4、,故选A.解后反思将复数化为x+yi(x,yR)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.评析本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,yR)的形式是解题关键.7.(2016课标文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=()A.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案Cz=3-2i,所以z=3+2i,故选C.8.(2016课标文,2,5分)若z=4+3i,则z|z|=()A.1B.-1C.45+35iD.45-35i答案D由z=4+3i得|z|=32+42=5,z=4-3i,则z|z|=45-35i,故选D.9.(2016山东理,1,5分)若复数z满足2z+z
5、=3-2i,其中i为虚数单位,则z=()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案B设z=a+bi(a,bR),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,a=1,b=-2,z=1-2i,故选B.10.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数2i1-i在复平面内所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2i1-i=2i(1+i)2=-1+i,复数2i1-i在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.11.(2015课标理,1,5分)设复数z满足1+z1-z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案A由已知1+z
6、1-z=i,可得z=i-1i+1=(i-1)2(i+1)(i-1)=-2i-2=i,|z|=|i|=1,故选A.12.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为()A.iB.-iC.1D.-1答案Ai607=i4151+3=(i4)151i3=-i,i607的共轭复数为i.13.(2014课标理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5B.5C.-4+iD.-4-i答案A由题意得z2=-2+i,z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.14.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于()A
7、.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案Ai(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.15.(2014课标文,3,5分)设z=11+i+i,则|z|=()A.12B.22C.32D.2答案Bz=11+i+i=1-i2+i=12+12i,因此|z|=122+122=12=22,故选B.16.(2013课标理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-45C.4D.45答案D|4+3i|=42+32=5,z=53-4i=5(3+4i)25=35+45i,虚部为45,故选D.17.(2013课标文,2,5分)2
8、1+i=()A.22B.2C.2D.1答案C21+i=2(1-i)2=|1-i|=2.选C.18.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2,p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1.其中的真命题为()A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4答案Cz=2-1+i=2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以|z|=2,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;z=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.19.(
9、2012课标文,2,5分)复数z=-3+i2+i的共轭复数是()A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i答案Dz=-3+i2+i=(-3+i)(2-i)(2+i)(2-i)=-5+5i5=-1+i,z=-1-i,故选D.评析本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.20.(2011课标理,1,5分)复数2+i1-2i的共轭复数是()A.-35iB.35iC.-iD.i答案C2+i1-2i=(2+i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=i,其共轭复数为-i,故选C.评析本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.21.(2019天津理,9,5分)i是虚数单位,则5-i1+i的值为.
10、答案13解析本题考查复数的四则运算,以复数的模为背景考查学生的运算求解能力.5-i1+i=(5-i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-6i2=|2-3i|=22+(-3)2=13.小题巧解5-i1+i=|5-i|1+i|=262=13.22.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.答案2解析本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,a-2=0,解得a=2.解题关键掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.23.(2017江苏
11、,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.答案10解析本题考查复数的运算.z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,|z|=32+(-1)2=10.24.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.25.(2016北京理,9,5分)设aR.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,aR,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,a+1=0,a
12、=-1.26.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.答案-2解析(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,1-2a0,2+a=0,解得a=-2.27.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为.答案5解析设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi,由复数相等的定义得a2-b2=3,2ab=4,解得a=2,b=1或a=-2,b=-1,从而|z|=a2+b2=5.28.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,bR)的模为3,则(a+bi)(a-bi)=.答案3解析复数
13、a+bi(a,bR)的模为a2+b2=3,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2i2=a2+b2=3.考点二复数的四则运算1.(2020课标文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0B.1C.2D.2答案Cz=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,|z|=|1+i|=12+12=2,故选C.2.(2020课标文,2,5分)(1-i)4=()A.-4B.4C.-4iD.4i答案A(1-i)4=(1-i)22=(-2i)2=4i2=-4,故选A.3.(2020课标文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z=()A.1-iB.1+iC.-iD.i答案
14、Dz(1+i)=1-i,z=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-2i2=-i,z=i,故选D.4.(2019课标文,1,5分)设z=3-i1+2i,则|z|=()A.2B.3C.2D.1答案C本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.z=3-i1+2i=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=3-7i+2i21-(2i)2=1-7i5=15-75i,|z|=152+-752=2,故选C.易错警示易将i2误算为1,导致计算出错.5.(2018课标,理1,文2,5分)设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.2答案C本题主要考
15、查复数的相关概念及复数的四则运算.z=(1-i)2(1+i)(1-i)+2i=1-2i-12+2i=i,|z|=1,故选C.6.(2018课标理,1,5分)1+2i1-2i=()A.-45-35iB.-45+35iC.-35-45iD.-35+45i答案D本题主要考查复数的四则运算.1+2i1-2i=(1+2i)2(1-2i)(1+2i)=-3+4i5=-35+45i,故选D.7.(2018课标文,1,5分)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i答案D本题主要考查复数的四则运算.i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.8.(2018北京理,2,5分)在复
16、平面内,复数11-i的共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,其共轭复数为12-12i,又12-12i在复平面内对应的点12,-12在第四象限,故选D.9.(2017课标理,1,5分)3+i1+i=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案D本题主要考查复数的除法运算.3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i.故选D.10.(2017课标文,2,5分)(1+i)(2+i)=()A.1-iB.1+3iC.3+iD.3+3i答
17、案B本题考查复数的基本运算.(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.11.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=()A.-2iB.2iC.-2D.2答案A本题考查复数的运算.由zi=1+i得z=1+ii=1-i,所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.12.(2016北京文,2,5分)复数1+2i2-i=()A.iB.1+iC.-iD.1-i答案A1+2i2-i=(1+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2+i+4i+2i24-i2=5i5=i,故选A.13.(2015课标理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4
18、i,则a=()A.-1B.0C.1D.2答案B(2+ai)(a-2i)=-4i4a+(a2-4)i=-4i,4a=0,a2-4=-4,解得a=0.14.(2015课标文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C由已知得z=1+ii+1=2-i,故选C.15.(2015课标文,2,5分)若a为实数,且2+ai1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.4答案D由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.16.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=()A.3+3i
19、B.-1+3iC.3+iD.-1+i答案C(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.17.(2015湖南文,1,5分)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案Dz=(1-i)21+i=-2i1+i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-i(1-i)=-1-i.故选D.18.(2014课标理,2,5分)(1+i)3(1-i)2=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案D(1+i)3(1-i)2=(1+i)2(1-i)2(1+i)=1+i2+2i1+i2-2i(1+i)=-1-i,故选D.19.(2014课
20、标文,2,5分)1+3i1-i=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案B1+3i1-i=(1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-2+4i2=-1+2i,故选B.20.(2013课标理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案A由题意得z=2i1-i=2i(1+i)2=-1+i,故选A.21.(2013课标文,2,5分)1+2i(1-i)2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i答案B1+2i(1-i)2=1+2i-2i=(1+2i)i(-2i)i=-2+i2=-1+12i,故选B.
21、22.(2011课标文,2,5分)复数5i1-2i=()A.2-iB.1-2iC.-2+iD.-1+2i答案C5i1-2i=5i(1+2i)(1-2i)(1+2i)=5(i-2)5=-2+i,故选C.评析本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.23.(2016课标,2,5分)若z=1+2i,则4izz-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案Czz=(1+2i)(1-2i)=5,4izz-1=4i4=i,故选C.24.(2020天津,10,5分)i是虚数单位,复数8-i2+i=.答案3-2i解析8-i2+i=(8-i)(2-i)(2+i)(2-i)=16-10i-15
22、=15-10i5=3-2i.25.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数6+7i1+2i=.答案4-i解析本题主要考查复数的四则运算.6+7i1+2i=(6+7i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=20-5i5=4-i.26.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|=.答案5解析本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z=1-7i1+i=(1-7i)(1-i)(1+i)(1-i)=-6-8i2=-3-4i,|z|=(-3)2+(-4)2=5.27.(2016天津理,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则ab的值为.答案2解析由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则b+1=a,1-b=0,解得a=2,b=1,所以ab=2.
