1、第三讲立体几何【命题规律】立体几何大题一般为两问：第一问通常是线、面关系的证明；第二问通常跟角有关，一般是求线面角或二面角，有时与距离、几何体的体积有关 微专题1线面角保 分 题2022辽宁沈阳二模如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA2AB4，点M是PA的中点(1)求证：BDCM；(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值提 分 题例12022全国乙卷如图，四面体ABCD中，ADCD，ADCD，ADBBDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；(2)设ABBD2，ACB60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正
2、弦值听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求线面角的答题模板巩固训练12022山东泰安一模如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是矩形，AB2AD2，PA平面ABCD，E为PD中点(1)若PA1，求证：AE平面PCD；(2)当直线PC与平面ACE所成角最大时，求三棱锥E - ABC的体积微专题2二面角保 分 题2022山东临沂二模如图，AB是圆柱底面圆O的直径，AA1、CC1为圆柱的母线，四边形ABCD是底面圆O的内接等腰梯形，且ABAA12BC2CD，E、F分别为A1D、C1C的中点(1)证明：EF平面ABCD；(2)求平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值提 分 题例2 2022湖南岳阳
3、三模如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD是菱形，F是PD的中点(1)证明：PB平面AFC；(2)若直线PA平面ABCD，ACAP2，且PA与平面AFC所成的角正弦值为217，求锐二面角F - AC - D的余弦值听课笔记：例32022山东日照二模如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，ABBCCD12AD，现以AC为折痕把ABC折起，使点B到达点P的位置，且PACD.(1)证明：平面APC平面ADC；(2)若M为PD上一点，且三棱锥D - ACM的体积是三棱锥P - ACM体积的2倍，求二面角P - AC - M的余弦值听课笔记：【技法领悟】利用空间向量求二面角的答题模板巩固训练21.2
4、022广东韶关二模如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点AB2，AD4，PAPD22.(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO平面PAD；(2)若二面角P - AD - B的大小为23，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值22022河北保定一模如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADABCD1，BCD60，现将DAC沿AC折起至PAC，使得PB2.(1)证明：ABPC；(2)求二面角A - PC - B的余弦值微专题3探索性问题提 分 题例42022山东聊城三模已知四边形ABCD为平行四边形，E为CD的中点，AB4，ADE为等边三角形，将三角形ADE沿AE折起
5、，使点D到达点P的位置，且平面APE平面ABCE.(1)求证：APBE；(2)试判断在线段PB上是否存在点F，使得平面AEF与平面AEP的夹角为45.若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由听课笔记：【技法领悟】1通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明；否则假设不成立2探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用巩固训练32022湖南岳阳一模如图，在三棱锥S - ABC中，SASBSC，BCAC.(1)证明：平面SAB平面ABC；(2)若BCSC，SCSA，试问在线段SC上是否存在点
6、D，使直线BD与平面SAB所成的角为60，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由第三讲立体几何微专题1线面角保分题解析：(1)证明：如图，连接AC，四边形ABCD是正方形，ACBD.又PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，PA，AC平面PAC，PAACA，BD平面PAC，又CM平面PAC，BDCM.(2)易知AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz.PA2AB4，A(0，0，0)，P(0，0，4)，M(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0), MC(2，2，2)，MD(0，2，2)，PC(2，2，4)设平面MCD的法向量为n(
7、x，y，z)，则nMC=2x+2y-2z=0nMD=2y-2z=0，令y1，得n(0，1，1)设直线PC与平面MCD所成角为，由图可知02，则sin |cos n，PC|nPCnPC12-1412+1222+22+-4236.即直线PC与平面MCD所成角的正弦值为36.提分题例1解析：(1)证明：ADCD，ADB BDC，BDBD，ABDCBD，ABCB.E为AC的中点，DEAC，BEAC.DEBEE，DE，BE平面BED，AC平面BED.AC平面ACD，平面BED平面ACD.(2)如图，连接EF.由(1)知AC平面BED.又EF平面BED，EFAC.SAFC12ACEF.当EFBD时，EF的
8、长最小，此时AFC的面积最小由(1)知ABCB2.又ACB60，ABC是边长为2的正三角形，BE3.ADCD，DE1，DE2BE2BD2，DEBE.以点E为坐标原点，直线EA ，EB ，ED分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(1，0，0)，D(0，0，1)，AB(1，3，0)，AD(1，0，1)，DB(0，3，1)，ED(0，0，1)，EC(1，0，0)设DFDB(01)，则EFED+DFEDDB(0，0，1)(0，3，1)(0，3，1)EFDB，EFDB(0，3，1)(0，3，1)410，14，EF(0，34，34)，CFEF
9、-EC(0，34，34)(1，0，0)(1，34，34)设平面ABD的法向量为n(x，y，z)，则nAB=0，nAD=0，即-x+3y=0，-x+z=0.取y1，则x3，z3，n(3，1，3)设当AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角为，则sin |cos n，CF|nCFnCF31+134+3343+1+31+316+916437.故当AFC的面积最小时，CF与平面ABD所成的角的正弦值为437.巩固训练1解析：(1)证明：PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，四边形ABCD为矩形，ADCD，又ADPAA，AD、PA平面PAD，CD平面PAD，AE平面PAD，AECD，在PAD
10、中，PAAD，E为PD 的中点，AEPD，而PDCDD，PD、CD平面PCD，AE平面PCD.(2)以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设APa(a0)，则C(2，1，0)，P(0，0，a)，E(0，12，a2)，AC(2，1，0)，AE(0，12，a2)，PC(2，1，a)，设平面ACE的一个法向量为n(x，y，z)，则nAC=2x+y=0nAE=12y+a2z=0，取ya，可得n(a2，a，1)设直线PC与平面ACE所成角为，则sin |cos n，PC|nFCnFCa54a2+15+a2229+20a2+5a227，当且仅当a2时等号成立即当A
11、P2时，直线PC与平面ACE所成角最大，此时三棱锥E - ABC的体积V1312212226.微专题2二面角保分题解析：(1)证明：取AD的中点M，连接EM、MC，E为A1D的中点，F为CC1的中点，EMAA1，EM12AA1，又CFAA1，CF12AA1，EMCF，EMCF，四边形EMCF为平行四边形，EFCM，又EF平面ABCD，CM平面ABCD，EF平面ABCD.(2)设ABAA12BC2CD4，ACBC，AC23.由题意知CA、CB、CC1两两垂直，故以C为坐标原点，分别以CA、CB、CC1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则A1(23，0，4)、O(3，1，0)、F(0，0，2
12、)、C(0，0，0)、D(3，1，0)，A1D的中点E的坐标为(332，12，2)，OF(3，1，2)，EF(332，12，0)，设平面OEF的一个法向量为n(x，y，z)，则nOF=0nEF=0，即-3x-y+2z=0-332x+12y=0，即3x+y-2z=033x-y=0，令x3，得n(3，9，6)，ACBC，ACCC1，BCCC1C，AC平面BCC1，平面BCC1的一个法向量为CA(23，0，0)，cos n，CAnCAnCA63+81+36231020，平面OEF与平面BCC1夹角的余弦值为1020.提分题例2解析：(1)证明：连接BD交AC于O，易证O为BD中点，又F是PD的中点，
13、所以OFPB，又OF平面AFC，且PB不在平面AFC内，故PB平面AFC.(2)取PC中点为Q，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OQ为z轴建立空间直角坐标系，设OBm，则A(0，1，0)，B(m，0，0)，C(0，1，0)，P(0，1，2)，D(m，0，0)F(m2，12，1)，AP(0，0，2)，OF(m2，12，1)，OC(0，1，0)，设平面AFC的法向量为n(x，y，z)，由nOFnOC-m2x-12y+z=0y=0，令x2，有n(2，0，m)，由PA与平面AFC所成的角正弦值为217217APnAPn2m24+m2m3，平面ACD的法向量为m(0，0，1)，则锐二面角F -
14、AC - D的余弦值为mnmn37217.例3解析：(1)证明：在梯形ABCD中取AD中点N，连接CN，则由BC平行且等于AN知ABCN为平行四边形，所以CNAB，由CN12AD知C点在以AD为直径的圆上，所以ACCD.又APCD，APACA, AP ，AC平面PAC，CD平面PAC，又CD平面ADC，平面APC平面ADC.(2)取AC中点O，连接PO，由APPC，可知POAC，再由平面PAC平面ACD，AC为两面交线，所以PO平面ACD，以O为原点，OA为x轴，过O且与OA垂直的直线为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，令AB2，则A(3，0，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1)，D(3
15、，2，0)，由VP - ACMVD - ACM12，得PM13PD，所以OMOP+PMOP+13PD(33，23，23)，设平面ACM的法向量为n(x，y，z)，则由nOM=0nOA=0得-33x+23y+23z=03x=0，取z1得x0，y1，所以n(0，1，1)，而平面PAC的法向量m(0，1，0)，所以cos n，mmnmn22.又因为二面角P - AC - M为锐二面角，所以其余弦值为22.巩固训练21解析：(1)证明：取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，如图，在PCD中，O、H分别是PC、PD的中点，所以OHCD且OH12CD，所以OHAS且OHAS，所以四边形ASOH是平行四
16、边形，所以SOAH，又AH平面PAD，SO平面PAD，所以SO平面PAD.(2)取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF.由点E是线段AD的中点，PAPD可得PEAD，又EFAD，所以PEF是二面角P - AD B的平面角，即PEF23，以E为原点，EA、EF方向分别为x轴、y轴正方向，建立如图所示坐标系，在PAD中，AD4，PAPD22知：PE2，所以P(0，1，3)，D(2，0，0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)，所以PD(2，1，3)，PB(2，3，3)，PC(2，3，3)，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则nPB=0nPC=0，即2x+3y-3z=0-2x+3y-3z=
17、0，可取n(0，1，3)，设直线PD与平面PBC所成角为，则sin |cos PD，n|222224，所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为24.2解析：(1)证明：在等腰梯形ABCD中，过A作AEBC于E，过D作DFBC于F，因为在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADABCD1，BCD60，所以BECF12CD12，AEDF12-12232，所以ACBD322+3223， BC2，所以BD2CD2BC2，所以BDCD，同理ABAC，又因为APAB1，PB2，AP2AB2PB2，ABAP又ACAPA，AC，AP平面ACP，所以AB平面ACP，因为PC平面ACP，所以ABPC.(2)取AC的中点
18、为M，BC的中点为N，则MNAB，因为AB平面ACP，所以MN平面ACP，因为AC，PM平面ACP，所以MNAC，MNPM，因为PAPC，AC的中点为M，所以PMAC，所以MN，MC，MP两两垂直，所以以M为原点，以MN所在直线为x轴，以MC所在直线为y轴，以MP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(0，32，0)，B(1，32，0)，C(0，32，0)，P(0，0，12)，PC(0，32，12)，PB(1，32，12)，平面APC的一个法向量为mAB(1，0，0)，设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，则nPC=32y-12z=0nPB=x-32y-12z=0，令y1，则n(3，1，
19、3)，所以cos m，nmnmn317217，因为二面角A - PC - B为锐角，所以二面角A - PC - B的余弦值为217.微专题3探索性问题提分题例4解析：(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，且ADE为等边三角形，所以BCE120，又E为CD的中点，所以CEEDDACB，即BCE为等腰三角形，所以CEB30.所以AEB180AEDBEC90，即BEAE.又因为平面AEP平面ABCE，平面APE平面ABCEAE，BE平面ABCE，所以BE平面APE，又AP平面APE，所以BEAP.(2)取AE的中点O，连接PO，由于APE为正三角形，则POAE，又平面APE平面ABCE，平面A
20、PE平面ABCEAE，PO平面EAP，所以PO平面ABCE，PO3，BE23，取AB的中点G，则OGBE，由(1)得BEAE，所以OGAE，以点O为原点，分别以OA，OG，OP所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O - xyz，则O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，23，0)，P(0，0，3)，E(1，0，0)，则EA(2，0，0)，EB(0，23，0)，PB(1，23，3)，EP(1，0，3), 假设存在点F，使平面AEF与平面AEP的夹角为45，设PFPB(，23，3)，0，1，则EFEP+PF(1，0，3)(，23，3)(1，23，3-3)，设平面AEF的法
21、向量为m(x，y，z)，由EFm=0EAm=0得1-x+23y+3，3z=02x=0，取z2，得m(0，1，2); 由(1)知EB为平面AEP的一个法向量，于是，cos 45|cos m，EB|mEBmEB23-12352-2+122，解得13或1(舍去)，所以存在点F，且当点F为线段PB的靠近点P的三等分点时，平面AEF与平面AEP的夹角为45.巩固训练3解析：(1)证明：取AB的中点E，连接SE，CE，SASB，SEAB，BCAC，三角形ACB为直角三角形，BEEC，又BSSC，SECSEB，SEBSEC90，SEEC，又SEAB，ABCEE，SE平面ABC.又SE平面SAB，平面SAB平
22、面ABC.(2)以E为坐标原点，平行AC的直线为x轴，平行BC的直线为y轴，ES为z轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设SASBSC2，SCSA，则AC22，BCSC2知EC23，SE1，则A(2，1，0)，B(2，1，0)，C(2，1，0)，E(0，0，0)，S(0，0，1)，AB(22，2，0)，SA(2，1，1)，设D(x，y，z)，CDCS(01)，则(x2，y1，z)(2，1，1)，D(2-2，1，)，BD(2，2，)设平面SAB的一个法向量为n(x1，y1，z1)，则nAB=22x1-2y1=0nSA=-2x1+y1-z1=0，取x11，得n(1，2，0)，sin 60nBDnBD，则22-22322+2-2+232，得2710，又01，方程无解，不存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60.
