1、第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 考点1 解三角形应用举例名师点睛1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用
2、正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.典例1.（2022湖北华中师大一附中模拟预测）为了
3、测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为_km.2. (2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45
4、，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A.346 B.373 C.446 D.4733（2022全国高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45，行走80米到点处，测得仰角为30，再行走80米到点处，测得仰角为.则_.举一反三1（2022山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和F
5、G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（）ABCD2（2022江苏南通高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30，则旗杆的高为（）A20mB10mCmDm3（2022辽宁沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不
6、共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：测量、；测量、；测量、；测量、其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_4（2022辽宁大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.5（2022广东高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，米，在点测得塔顶的仰角为45，求塔高 考点2 求解平面几何问题名师点睛平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把
7、所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.典例1. (2021新高考八省联考)在四边形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.2.（2022湖北襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，求的最小值.举一反三1（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积2（2022福建省福州第一中学三
8、模）已知的内角、所对的边分别为、，.(1)求角；(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.3（2022山东师范大学附中模拟预测）在，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、所对的边分别是、，且_.(1)求角；(2)若，点是的中点，求线段的取值范围. 考点3 三角函数与解三角形的交汇问题名师点睛解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.典例（2022浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为(1)求的值及的对称中心；(2)在中，a，b，c分别是角A
9、，B，C的对边，若，求周长的取值范围举一反三1（2022浙江湖州模拟预测）已知函数的部分图像如图所示(1)求的解析式；(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值2.（2022山东淄博三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，若角的平分线交于，求的长第29讲解三角形应用举例及综合问题1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).3.方向角正北或正南方向线与目标
10、方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 考点1 解三角形应用举例名师点睛1.距离问题的类型及解法(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.2.高度问题的类型及解法（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.3.角度问题的类型
11、及解法（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.典例1.（2022湖北华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为_km.【答案】2【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中
12、，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.【详解】由题意可知，, ,故在中，故 ，在中，故 ，所以在中，则 ,故答案为：22. (2021全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A，B，C满足ACB45，ABC60.由C点测得B点的仰角为15，BB与CC的差为100；由B点测得A点的仰角为45，则A，C两点到水平面ABC的高度差AACC约为(1.732)()A.346 B.373 C.446 D.47
13、3答案B解析如图所示，根据题意过C作CECB，交BB于E，过B作BDAB，交AA于D，则BE100，CBCE.在ACB中，CAB180ACBABC75，则BDAB，又在B点处测得A点的仰角为45，所以ADBD，所以高度差AACCADBE100100100100100(1)100373.3（2022全国高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45，行走80米到点处，测得仰角为30，再行走80米到点处，测得仰角为.则_.【答案】【解析】首先得到，然后由余弦定理得：，然后求出即可【详解】如图，为楼脚，为楼高，则，易得：.由余
14、弦定理得：， ， 两式相加得：，则，故.故答案为：举一反三1（2022山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测量标杆问的距离，记为，GC、EH分别记为，则该山体的高AB=（）ABCD【答案】A【分析】根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.【详解】连接FD，并延长交AB于M点，如图，因为在中，所以；又因为在中，
15、所以，所以，所以，即，故选：A2（2022江苏南通高三期末）某校数学建模社团学生为了测量该校操场旗杆的高AB，先在旗杆底端的正西方点C处测得杆顶的仰角为45，然后从点C处沿南偏东30方向前进20m到达点D处，在D处测得杆顶的仰角为30，则旗杆的高为（）A20mB10mCmDm【答案】B【分析】根据条件确定相关各角的度数，表示出 ，等边的长度，然后在中用余弦定理即可解得答案.【详解】如图示，AB表示旗杆，由题意可知：，所以设 ，则，在 中， ,即 ，解得 ，（舍去），故选：B.3（2022辽宁沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“
16、秀湖”湖畔有秀湖阁和临秀亭两个标志性景点，如图若为测量隔湖相望的、两地之间的距离，某同学任意选定了与、不共线的处，构成，以下是测量数据的不同方案：测量、；测量、；测量、；测量、其中一定能唯一确定、两地之间的距离的所有方案的序号是_【答案】【分析】利用正弦定理可判断，利用余弦定理可判断，根据已知条件可判断不满足条件.【详解】对于，由正弦定理可得，则，若且为锐角，则，此时有两解，则也有两解，此时也有两解；对于，若已知、，则确定，由正弦定理可知唯一确定；对于，若已知、，由余弦定理可得，则唯一确定；对于，若已知、，则不确定.故答案为：.4（2022辽宁大连市一0三中学模拟预测）如图所示，遥感卫星发现海
17、面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.(1)求小岛A到小岛C的距离；(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.解：(1)在中，根据余弦定理得：.所以小岛A到小岛 C的最短距离是海里.(2)根据正弦定理得： 解得在中，为锐角.由得游船应该沿北偏东的方向航行答:小岛A到小岛 C的最短距离是海里;游船应该沿北偏东的方向航行.5（2022广东高三开学考试）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，米，在点测得塔顶的仰角为45，求塔高【解】在中，由正弦定理得.在中所以塔高为米 考点2 求解
18、平面几何问题名师点睛平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.典例1. (2021新高考八省联考)在四边形ABCD中，ABCD，ADBDCD1.(1)若AB，求BC；(2)若AB2BC，求cosBDC.解(1)如图所示，在ABD中，由余弦定理可知，cosABD.ABCD，BDCABD，即cosBDCcosABD.在BCD中，由余弦定理可得，BC2BD2CD22BDCDcosBDC1212211，BC.(2)设BCx，则AB2BC2x.由余弦定理可知，cosAB
19、Dx，cosBDC.ABCD，BDCABD，即cosBDCcosABD.联立，可得x，整理得x22x20，解得x11，x21(舍去).将x11代入，解得cosBDC1.2.（2022湖北襄阳四中模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：，；(2)若，求的最小值.解：(1)在和中，可得，所以，由正弦定理，得，两式相除得，可得，又由，根据余弦定理得所以代入可得.(2)由，及，可得根据基本不等式得，解得，当且仅当时等号成立，又由，可得，所以的最小值是3.举一反三1（2022山东济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，且(1)
20、若，求的值；(2)若AM为的平分线，且，求的面积解：（1）因为，,所以，因为，所以由正弦定理知，即，因为，所以，在中，（2）由题意知，设，由余弦定理得，解得或因为，所以，因为AM为的平分线，所以（h为底边BC的高）所以，故，而由（1）知，所以2（2022福建省福州第一中学三模）已知的内角、所对的边分别为、，.(1)求角；(2)若边上的高线长为，求面积的最小值.解：(1)由已知，所以，所以，由正弦定理得，因为、，则，所以，则，所以，所以，则.(2)由，得，由余弦定理，即，因为，则，当且仅当取等号，此时面积的最小值为.3（2022山东师范大学附中模拟预测）在，两个条件中任选一个，补充在下面的问题中
21、，并解答该问题.在中，内角、所对的边分别是、，且_.(1)求角；(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.解：(1)选，由及正弦定理可得，所以，因为、，所以，则，所以，；选，由及正弦定理可得，所以，、，所以，则.(2)因为，所以，由已知，即，所以，所以，即，所以，. 考点3 三角函数与解三角形的交汇问题名师点睛解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：（1）利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；（2）解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.典例（2022浙江省新昌中学模拟预测）已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为(1)求的值及的对称中心；(2)在中，a，b，c分别是角A，B，C
22、的对边，若，求周长的取值范围解：(1)，显然的最大值为1，最小值为，则时，的最小值等于，则，则，；令，解得，则的对称中心为；(2)，又，则，由正弦定理得，则，则周长为，又，则，则，故周长的取值范围为.举一反三1（2022浙江湖州模拟预测）已知函数的部分图像如图所示(1)求的解析式；(2)在锐角中，若边，且，求周长的最大值解：(1)由图得，又，所以，将点代入，得，即，考虑到，故，即的解析式为(2)由，得及，故，因为为锐角三角形，且，故由正弦定理，得所以又，故，故周长的最大值为3.2.（2022山东淄博三模）已知函数，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为(1)求函数的解析式；(2)记的内角的对边分别为，若角的平分线交于，求的长解：(1)因为，设函数的周期为，由题意，即，解得，所以.(2)由得：，即，解得，因为，所以，因为的平分线交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，而，得，因此
