1、课时规范练47抛物线基础巩固组1.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P作PQl于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP答案:B解析:因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等,又点P在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.2.(2020全国,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.9答案:C解析:设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为
2、9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.3.(2021新高考,3)抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=()A.1B.2C.22D.4答案:B解析:抛物线的焦点坐标为p2,0,其到直线x-y+1=0的距离d=|p2-0+1|1+1=2,解得p=2(p=-6舍去),故选B.4.(2021陕西西安中学二模)已知过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若AF=3FB,则直线l的斜率为()A.2B.12C.32D.3答案:D解析:如图所示,抛物线的准线l:x=-1,设点A,B在l上的射影分别是点C,D
3、,连接AC,BD,过点B作BEAC于点E.AF=3FB,设|AF|=3m,|BF|=m,则|AC|=3m,|BD|=m.在RtABE中,cosBAE=|AE|AB|=3m-m3m+m=12,得BAE=60.直线AB的倾斜角AFx=60,AB的斜率k=tan60=3,故选D.5.(2021山东济南二模)已知抛物线x2=2py(p0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为33,点A的纵坐标为32,则p的值为()A.14B.12C.1D.2答案:C解析:由题意得,抛物线x2=2py(p0)焦点在y轴上,准线方程为y=-p2,设A(xA,yA),则|AF|=yA+
4、p2=32+p2,设直线AB的倾斜角为,则tan=33,因为0,),所以=6,所以|AF|=yA-p2sin=32-p2sin=3-p2sin=3-p212=3-p,所以3-p=32+p2,解得p=1,故选C.6.已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线为l,圆C:x-p22+y2=4,l与圆C交于A,B两点,圆C与E交于M,N两点.若A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,则E的方程为()A.y2=xB.y2=3xC.y2=2xD.y2=23x答案:C解析:如图,圆C:x-p22+y2=4的圆心Cp2,0是抛物线E:y2=2px(p0)的焦点.圆C:x-p22+y2=4的半径为2,|NC|=2
5、,根据抛物线定义可得|NA|=|NC|=2.A,B,M,N为同一个矩形的四个顶点,点A,N关于直线x=p2对称,即xN+xA=p22=p,xN=32p,|NA|=32p-p2=2,即2p=2,则E的方程为y2=2x.故选C.7.(2020河南安阳三模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,l与x轴的交点为P,点A在抛物线C上,过点A作AAl,垂足为A.若四边形AAPF的面积为14,且cosFAA=35,则抛物线C的方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:C解析:过点F作FFAA,垂足为F.设|AF|=3x,因为cosFAA=35,所以|AF|=5
6、x,|FF|=4x.由抛物线的定义可知|AF|=|AA|=5x,则|AF|=2x=p,故x=p2.四边形AAPF的面积S=(|PF|+|AA|)|FF|2=(p+52p)2p2=14,解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x.8.(2021广东梅州一模)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则POF的面积为()A.2B.22C.23D.4答案:C解析:抛物线C的方程为y2=42x,2p=42,可得p2=2,得焦点F(2,0),设P(m,n),根据抛物线的定义,得|PF|=m+p2=42,即m+2=42,解得m=32,点P在抛物线C上,得n2=4232=
7、24,n=26.|OF|=2,POF的面积为S=12|OF|n|=23,故选C.9.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.答案:2解析:由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.10.(2020江西萍乡一模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线l:x=-1,点M在抛物线C上,点M在准线l
8、上的射影为A,且直线AF的斜率为-3,则AMF的面积为.答案:43解析:设准线l与x轴交于点N,则|FN|=2.直线AF的斜率为-3,AFN=60,MAF=60,|AF|=4.由抛物线的定义可得|MA|=|MF|,AMF是边长为4的等边三角形.SAMF=3442=43.11.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为.答案:94解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义及|AF|+|BF|=5,可得x1+14+x2+14=5,解得x1+x2=92,所以线段AB的中点到y轴的距离为x1+x22=94.综合提升
9、组12.如图,过抛物线y2=8x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,若B是AC的中点,则|AB|=()A.8B.9C.10D.12答案:B解析:如图,设点A,B在准线上的射影分别为点D,E,且设AB=BC=m,直线l的倾斜角为.则|BE|=m|cos|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m(1-|cos|),所以|cos|=|AD|AC|=m(1-|cos|)2m,解得|cos|=13.(方法1)由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psin2可得|AB|=81-19=9,故选B.(方法2)由|cos|=13得tan=22,得直线方程,与抛物
10、线联立进而可解得xA+xB=5,于是|AB|=xA+xB+4=9,故选B.13.(2021东北三省四市联考二)从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为()A.14,-12B.18,-14C.116,-14D.164,-18答案:D解析:设光线被抛物线反射的反射点为B,则ABx轴,把y=2代入y2=x,得x=4,B(4,2),设抛物线y2=x的焦点为F,则F14,0,直线B
11、F的方程为y=2-04-14x-14,即y=815x-14,又y2=x,解得x=4,y=2或x=164,y=-18,Q164,-18.故选D.14.(2021河南洛阳期末)过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,且|AF|=2|BF|,则|AB|=()A.3B.9C.32D.92答案:D解析:(方法1)抛物线的焦点坐标为F(1,0),设点A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,显然=16k2+160恒成立,则x1x2=1,因为|AF|=2|BF|,由抛物线的定
12、义得x1+1=2(x2+1),即x1=2x2+1,由解得x1=2,x2=12,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2+12+2=92.故选D.(方法2)因|AF|=2|BF|,由结论|AF|=p1-cos,|BF|=p1+cos,得p1-cos=2p1+cos,所以2-2cos=1+cos,即cos=13,所以sin2=89,|AB|=2psin2=489=92.15.(2020河北衡水中学三模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(1,1)的直线与C交于A,B两点,若M恰好为AB的中点,则|AF|+|BF|=,直线AB的斜率为.答案:42解析:过点A,B,M分别作准线x=
13、-1的垂线,垂足分别为A1,B1,M1,则|MM1|=2.根据梯形中位线定理,得|AA1|+|BB1|=4.根据抛物线的定义,得|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y12=4x1,y22=4x2,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),则直线AB的斜率为k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=421=2.创新应用组16.(2020江西九江二模)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,连接AF并延长,交抛物线C于点D,若AB中点的纵坐标为|AB|-1,则当AFB最大时,|AD|=()A.4B.8C.16D.
14、163答案:C解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),由抛物线的定义得|AF|+|BF|=y1+y2+2,因为y1+y22=|AB|-1,所以|AF|+|BF|=2|AB|,所以cosAFB=|AF|2+|BF|2-|AB|22|AF|BF|=3(|AF|2+|BF|2)-2|AF|BF|8|AF|BF|6|AF|BF|-2|AF|BF|8|AF|BF|=12,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以当AFB最大时,AFB为等边三角形,ABx轴.不妨设此时直线AD的方程为y=3x+1,由y=3x+1,x2=4y,消去y,得x2-43x-4=0,所以x1+x3=43,
15、所以y1+y3=3(x1+x3)+2=14.所以|AD|=16.故选C.17.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.10答案:A解析:由题意,可知直线l1,l2的斜率都存在且不为0,点F(1,0).设点A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4),直线l1的方程为y=k(x-1)(k0).由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,0显然成立,则x1+x2=2k2+4k2.因为l1l2,所以直线l2的方程为y=-1k(x-1).同理,x3+x4=2+4k2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+2+x3+x4+2=2k2+4k2+2+4k2+4=4k2+4k2+824k24k2+8=16,当且仅当4k2=4k2,即k=1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.
