1、课时规范练23余弦定理、正弦定理及应用举例基础巩固组1.(2021四川成都二诊)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=3b,sin A=35,则sin B的值为()A.15B.115C.13D.59答案:A解析:由正弦定理可知asinA=bsinB,即3b35=bsinB,所以sinB=15.2.(2021江西宜春模拟)在ABC中,BC=17,AC=3,cos A=13,则ABC的面积为()A.42B.2C.4D.92答案:A解析:因为BC=17,AC=3,cosA=13,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA,所以AB2-2AB-8=0,所以AB=4.又因
2、为cosA=13,A(0,),所以sinA=223,所以SABC=12ABACsinA=1243223=42.3.(2021四川眉山三诊)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若ABC的面积SABC=c2-a2-b24,则C=()A.3B.23C.34D.56答案:C解析:由SABC=12absinC,得c2-a2-b24=12absinC,整理得c2=a2+b2+2absinC,由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC,所以sinC=-cosC,即tanC=-1.又C(0,),所以C=34.4.(2021河南郑州模拟)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,A=30,
3、a=3,若这个三角形有两解,则b的取值范围是()A.3b23B.3b23C.b23D.b23答案:B解析:当ABC有两解时,bsinAab,即bsin303b,解得3b23.5.(2021云南红河三模)如图所示,网格中小正方形的边长均为1,ABC的三个顶点均在小正方形的顶点处,则ABC外接圆的面积为()A.1309B.659C.6518D.6536答案:C解析:由图可知a=3,b=10,c=13,由余弦定理,得cosC=10+9-13610=1010,所以sinC=31010.设R为ABC外接圆的半径,根据正弦定理知2R=csinC=1331010=1303,所以R=1306,所以S=R2=1
4、3036=6518.6.(2021山西临汾适应性考试)说起延安革命纪念地景区,可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、西北局革命旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山,它可是圣地延安的标志,见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图,宝塔山的坡度比为73(坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比),在山坡A处测得CAD=15,从A处沿山坡往上前进66 m到达B处,在山坡B处测得CBD=30,则宝塔CD的高为()A.44 mB.42 mC.48 mD.46 m答案:A解析:由题可知CAD=15,CBD=30,则ACB=15,所以BC=AB=66.设坡角为,则由题可得t
5、an=73,则可求得cos=34.在BCD中,BDC=+90,由正弦定理,得CDsin30=BCsin(+90),即CD12=66cos=6634,解得CD=44,故宝塔CD的高为44m.7.(2021江苏徐州考前模拟)在平面四边形ABCD中,AB=8,AC=14,cos BAC=57,内角B与D互补,若AC平分BAD,则CD的长为.答案:10解析:在ABC中,由余弦定理,得BC=AB2+AC2-2ABACcosBAC=82+142-281457=10.由cosBAC=57可得sinBAC=267.由正弦定理,得sinB=ACBCsinBAC=1410267=265,又内角B与D互补,所以si
6、nD=sinB=265.因为AC平分BAD,所以sinDAC=sinBAC=267,所以由正弦定理,得CD=ACsinDsinDAC=14265267=10.8.(2021浙江杭州二模)设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,则C=,ABC的面积S=.答案:3334解析:因为a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=12,因为C为三角形内角,所以C=3.由a2+b2-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或
7、b=-2(舍去),所以ABC的面积S=12absinC=121332=334.9.(2021山东潍坊二模)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2b2=(b2+c2-a2)(1-tan A).(1)求角C;(2)若c=210,D为BC中点,cos B=255,求AD的长度.解:(1)2b2=(b2+c2-a2)(1-tanA),2b2=2bccosA(1-tanA).b=c(cosA-sinA),由正弦定理,得sinB=sinC(cosA-sinA),sin(A+C)=sinCcosA-sinCsinA,sinAcosC=-sinCsinA,sinA0,tanC=-1,又C(0,
8、),解得C=34.(2)cosB=255,sinB=55.sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=1010,由正弦定理,得a=csinAsinC=22,BD=2,在ABD中,由余弦定理,得AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB,解得AD=26.10.(2021山东德州二模)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知6cos22+A+cos A=5.(1)求A;(2)若a=2,求b2+c2的取值范围.解:(1)由题意得6sin2A+cosA=5,整理得6cos2A-cosA-1=0,解得cosA=12或cosA=-13.又A0,2,所以cosA=1
9、2,即A=3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得4=b2+c2-bc,即b2+c2=4+bc.由正弦定理,得asinA=bsinB=csinC=232=433,即b=433sinB,c=433sinC,而C=23-B,bc=163sinBsinC=163sinBsin23-B=833sinBcosB+83sin2B=433sin2B-43cos2B+43=83sin2B-6+43.又0B2,023-B2,解得6B2,所以62B-60,所以tanA=3.又因为A(0,),所以A=3.方案二:选择,cos2C+sinBsinC=sin2B+cos2A得1-sin2C+sinBsi
10、nC=sin2B+1-sin2A,即sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,由正弦定理,得b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=b2+c2-a22bc=12,因为A(0,),所以A=3.方案三:选择,由2b=2acosC+c,结合正弦定理,得2sinB=2sinAcosC+sinC.因为A+B+C=,所以sinB=sin(A+C),即2sin(A+C)=2sinAcosC+sinC,所以2cosAsinC=sinC.因为C(0,),所以sinC0,所以cosA=12.因为A(0,),所以A=3.(2)在ABC中,由正弦定理,得ACsinB=2R=2,所以sinB=22,
11、所以B=4因为A=3,由三角形内角和定理,B不可能为34.在ABC中,C=-3-4=512.因为AD是ABC的内角平分线,所以CAD=6,所以ADC=-6-512=512,所以AD=AC=2.创新应用组15.(2021广东深圳二模)著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马(16011665)提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点,已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当ABC的三个内角均小于23时,则使得APB=BPC=CPA=23的点P即为费马点.已知点P为ABC的费马点,且ACBC,若|PA|+|PB
12、|=|PC|,则实数的最小值为.答案:23+2解析:根据题意,点P为ABC的费马点,ABC的三个内角均小于23,所以APB=BPC=CPA=23.设PCB=,所以在BCP和ACP中,CBP=3-,ACP=2-,CAP=3-ACP=-6,且均为锐角,所以6,3.所以由正弦定理,得|BP|sin=|PC|sin(3-),|PA|sin(2-)=|PC|sin(-6),所以|BP|=sinsin(3-)|PC|,|PA|=sin(2-)sin(-6)|PC|,因为|PA|+|PB|=|PC|,所以=sinsin(3-)+sin(2-)sin(-6)=32-sincossincos-34=34-(si
13、ncos-34)sincos-34=34sincos-34-1=32sin2-3-1,因为6,3,所以23,23,所以2sin2-3(0,2-3,所以32sin2-3-123+2,+),故实数的最小值为23+2.16.(2021辽宁大连一模)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际高度有误差,请你针对误差情况进行说明.解:(1)选用测角仪和米尺,如图所示,选择一条水平基线HG(如图),使H,G,B三点共线;在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为,用米尺测量得CD=a,测得测角仪的高为h;经计算建筑物AB=asinsinsin(-)+h或者写成atantantan-tan+h.(2)答案:合理即可.测量工具精度问题;两次测量时位置的间距差.
