1、课时规范练13函数模型及其应用基础巩固组1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2021年5月1日1235 0002021年5月15日4835 600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升答案:B解析:5月1日到5月15日,汽车行驶了35600-35000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486=8(升).2.(2021四川成都诊断测试)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施
2、、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0.3v2+d0,其中d0为安全距离(单位:m),v为车速(单位:m/s).当安全距离d0取30 m时,该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A.135B.149C.165D.195答案:B解析:由题意得,N=1000v0.7v+0.3v2+d0=10000.7+0.3v+30v10000.7+20.330149,当且仅当0.3v=30v,即v=10时,等号成立,所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.3.(2021西藏拉萨二模)某大型建筑工地因施工噪音过大,被周围居民投诉.现环保局
3、要求其整改,降低声强.已知声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知I=1013 W/m2时,L=10 dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2,则整改后的施工噪音的声强级降低了()A.50 dBB.40 dBC.30 dBD.20 dB答案:D解析:由已知得10=10lg(a1013),解得a=10-12,故L=10lg(10-12I)=10(-12+lgI).设施工噪音原来的声强为I1,声强级为L1,整改后的声强为I2,声强级为L2,则L1-L2=10(-12+lgI
4、1)-10(-12+lgI2)=10(lgI1-lgI2)=10lgI1I2=20.4.(2021江西吉安模拟)根据道路交通安全法规定:驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20 mg/100 mL,小于80 mg/100 mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60 mg/100 mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为了保障交通安全,这人至少经过几小时才能开车()(精确到1小时,参考数据:lg 30.48,lg 20.3)A.7B.6C.5D.4答案:C解析:设这人至少经过x小时才能开车,由题意得60(1-20%)x20,即0.8xlog0.8
5、13=-lg33lg2-1-0.4830.3-1=4.8,所以这人至少经过5小时才能开车.5.(2021广东深圳一模)冈珀茨模型(y=kabt)是由冈珀茨(Gompertz)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:y=k0e1.4e-0.125t(当t=0时,表示2020年初的种群数量),若m(mN+)年后,该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半,则m的最小值为.(ln 20.7)答案:6解析:令t=m,由题意知,k0e1.4e-0.125m12k0e1.4e0=12k0e1.4,所以2ln20.7,则1-e-
6、0.125m12,所以e-0.125mln20.1250.70.125=5.6,所以m的最小值为6.综合提升组6.(2021福建厦门一模)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,有下列说法:a=3;注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时;注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克;注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时.其中说法正确的序号有.答案:解析:由函数图像可知y=4t
7、,0t1,12t-a,t1,当t=1时,y=4,即121-a=4,解得a=3,y=4t,0t1,12t-3,t1,故正确;药物刚好起效的时间,4t=0.125,解得t=132,药物刚好失效的时间,12t-3=0.125,解得t=6,故药物有效时长为6-132=53132小时,药物的有效时间不到6个小时,故错误,正确;注射该药物18小时后每毫升血液含药量为418=0.5微克,故错误.7.(2021云南昆明一中高三月考)科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”,即一种能完全吸收照在其表面的电磁波(光)的物体.然后,黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波,科学研究发现单位面积的黑体向
8、空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比,即B=T4,为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中,往往不用基础变量作为横纵坐标,以本实验结果为例,B为纵坐标,以T4为横坐标,则能够近似得到(曲线形状).答案:射线解析:因为B=T4,为玻尔兹曼常数.以B为纵坐标,以T4为横坐标,因为x=T40,所以B=x(x0),所以曲线是一条射线.创新应用组8.(2021山东菏泽高三期中)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,
9、在估计能获得25,1 600万元的投资收益时,该公司对函数模型的基本要求是:当x25,1 600时,f(x)是递增的;f(x)90恒成立;f(x)x5恒成立.(1)现有两个奖励函数模型:f(x)=115x+10;f(x)=2x-6.试分析这两个函数模型是否符合公司要求?(2)已知函数f(x)=ax-10(a2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.解:(1)对于函数模型:f(x)=115x+10,验证条件:当x=30时f(x)=12,而x5=6,即f(x)x5不成立,故该函数模型不符合公司要求;对于函数模型:f(x)=2x-6,当x25,1600时,条件f(x)是增函数满足;f(x
10、)max=21600-6=240-6=7490,满足条件;对于条件:记g(x)=2x-6-x5(25x1600),则g(x)=-15(x-5)2-1,x5,40,当x=5时,g(x)max=-15(5-5)2-1=-10,f(x)x5恒成立,即条件也成立.故函数模型f(x)=2x-6符合公司要求.(2)a2,函数f(x)=ax-10符合条件;由函数f(x)=ax-10符合条件,得a1600-10=a40-1090,解得a52;由函数f(x)=ax-10符合条件,得ax-10x5对x25,1600恒成立,即ax5+10x对x25,1600恒成立.x5+10x22,当且仅当x5=10x,即x=50时等号成立,a22.综上所述,实数a的取值范围是2,52.
