1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余 弦 定 理中国海监船肩负着我国海域的维权、执法和保护渔民使命某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐假如能测得BAC，BCm海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？【问题1】你能利用以前学习的数学知识解决这个问题吗？【问题2】在这个问题中，ABC是直角三角形吗？【问题3】解决这个问题时可能会用到哪些数学知
2、识呢？1余弦定理余弦定理公式表达a2b2c22bc_cos_A，b2a2c22ac_cos_B，c2a2b22ab_cos_C语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍推论cos A，cos B，cos C1本质：把用SAS，SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，即把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式2混淆：利用定理及推论时，分清使用的角的对边是哪条边已知三角形的两边及其一角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示：(1)当已知两边及其夹角时，由余弦定理可知，不妨设a，b边和其夹角C已知，则c2a2b22ab cos C，
3、c唯一，cos B，因为0B0，可得b2c2a20，所以有a2b2c2；3当A是钝角时，cos A0，可得b2c2a2b2c2，ABC为钝角三角形1在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c_.【解析】根据余弦定理c2a2b22ab cos C1636246cos 12076，c2.答案： 22在ABC中，已知a2c2b2ab，则角C的大小为_【解析】由余弦定理，得cos C，所以C.答案：基础类型一已知两边及一角解三角形(数学抽象)1在ABC中，已知b2，c3，A60，则a()A B2 C D7【解析】选C.由余弦定理，得a2b2c22bc cos A223267，所以a.2(2021成都
4、高一检测)在ABC中，C，AB7，BC3，则AC()A B5 C D6【解析】选B.在ABC中，C，AB7，BC3，如图所示：由余弦定理得72AC23223ACcos ，整理得AC23AC400，解得AC5或AC8(不合题意，舍去)，所以AC5.3在ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_【解析】由余弦定理得：()252BC225BC，所以BC29BC200，解得BC4或BC5.答案：4或5解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长(2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 微提醒：利用余弦定理解三角形时，
5、可能会求出两解，解出两根时要注意验证，防止出现增根基础类型二已知三边解三角形(逻辑推理、数学运算)【典例】1.在ABC中，已知a3，b5，c，则最大角与最小角的和为()A90 B120C135 D150【解析】选B.在ABC中，因为a3，b5，c，所以最大角为B，最小角为A，所以cos C，所以C60，所以AB120，所以ABC中的最大角与最小角的和为120.2在ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，则A等于()A90 B60C120 D150【解析】选B.因为(ac)(ac)b(bc)，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，180)，所以A60.【备选例题】 已知ABC中，ab
6、c2(1)，求ABC的各角的大小【解析】设a2k，bk，c(1)k(k0)，利用余弦定理，有cos A，所以A45.同理可得cos B，B60.所以C180AB75.1已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为0，角为直角；值为负，角为钝角；其思路清晰，结果唯一2若已知三角形的三边的关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解微提醒：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.【解析】根据余弦定理，cos A.因为A(0，)，所以A，cos C，因为
7、C(0，)，所以C.所以BAC，所以A，B，C.综合类型余弦定理的综合应用(逻辑推理、数学运算)判断三角形的形状【典例】在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状【思路探求】根据三角形三边的关系，用a，c表示边b，再结合角B等于60，利用余弦定理即可求出三角形三边的关系【解析】由余弦定理，得b2a2c22ac cos B.因为B60且b，所以a2c22ac cos 60.整理，得(ac)20，所以ac，所以abc，所以ABC为正三角形利用余弦定理判断三角形形状的两种途径1化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断2化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，
8、通过三角变换得出关系进行判断与余弦定理有关的范围问题【典例】设2a1，a，2a1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围【思路探求】一边大于两边差而小于两边和是任一个三角形三边都成立的条件若是在锐角或钝角三角形中，三边的制约条件还要更强若ABC为锐角三角形，则有a2b2c2，b2a2c2，c2a2b2；若ABC为钝角三角形，最大边为a，则一定有a2b2c2，这些都是可以从余弦定理中直接推导的【解析】因为2a1，a，2a1是三角形的三边，所以解得a，此时2a1最大所以要使2a1，a，2a1表示三角形的三边，还需a(2a1)2a1，解得a2.设最长边2a1所对的角为，则cos 0，解得a8，所以a的
9、取值范围是2a8. 微提醒：本题易忽视构成三角形的条件a2，而直接应用余弦定理求解，从而使a的范围扩大由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形【加固训练】 在钝角三角形ABC中，a1，b2，ct，且C是最大角，求t的取值范围【解析】根据题意2t3.又ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90C180.所以cos C0，所以cos C5.又t0，所以t.所以t的取值范围为(，3).1在ABC中，已知B120，a3，c5，则b等于()A4 B C7 D5【解析】选C.b2a2c22ac cos B
10、3252235cos 12049，所以b7.2(2021平顶山高一检测)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b5，c2a cos A，则cos A()A B C D【解析】选D.因为c2a cos A，由余弦定理可得c2a，将a3，b5代入整理得c2，所以cos A.3在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 B C D2【解析】选A.cos C2cos2121，在ABC中，由余弦定理AB2CA2CB22CACBcosC，得AB225121532，所以AB4.4若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab_【解析】因为C60，所以c2a2b22ab cos 60，即c2a2b2ab.又因为(ab)2c24，所以c2a2b22ab4.由知ab2ab4，所以ab.答案：关闭Word文档返回原板块
