1、2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）期末数学试卷（理科）（普通班）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|2x3，B=x|x1，则集合AB=（）Ax|2x4Bx|x3或x4Cx|2x1Dx|1x32在不等式2x+y60表示的平面区域内的点是（）A（0，1）B（5，0）C（0，7）D（2，3）3已知等差数列an中，a7+a9=4，则a8的值是（）A1B2C3D44设xR，则“x”是“2x2+x10”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5已知AB
2、C的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定6已知椭圆： +=1的焦距为4，则m等于（）A4B8C4或8D以上均不对7有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若xy，则x2y2”的逆否命题；（3）“若x3，则x2x60”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是（）A0B1C2D38设椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD9在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60
3、和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）ABCD10数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A10B9C10D911已知点及抛物线上的动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A2B3C4D12正项等比数列an中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）AB2CD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13全称命题“xR，x2+5x=4”的否定是14设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为15等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为
4、16如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围18（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值19已知数列an的前n项和Sn=2n2+n，nN*（1）求an的通项公式；（2
5、）若数列bn满足an=4log2bn+3，nN*，求数列anbn的前n项和Tn20已知在ABC中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sinA：sinB=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若，求cosB21如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小22椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求
6、证：直线l过定点，并求出该定点的坐标2015-2016学年河南省北大附中分校宇华教育集团高二（上）期末数学试卷（理科）（普通班）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 A=x|2x3，B=x|x1，则集合AB=（）Ax|2x4Bx|x3或x4Cx|2x1Dx|1x3【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|2x3，B=x|x1，AB=x|2x1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在不等式
7、2x+y60表示的平面区域内的点是（）A（0，1）B（5，0）C（0，7）D（2，3）【考点】二元一次不等式的几何意义【专题】计算题【分析】将点的坐标一一代入不等式2x+y60，若成立，则在不等式表示的平面区域内，否则不在，问题即可解决【解答】解：由题意：对于A：20+160成立；故此点在不等式2x+y60表示的平面区域内；对于B：25+060不成立；故此不在点不等式2x+y60表示的平面区域内对于C：20+760不成立；故此点不在不等式2x+y60表示的平面区域内对于D：22+360不成立；故此点不在不等式2x+y60表示的平面区域内故选A【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式组与平面区域
8、，根据已知不等式表示的平面区域是解答本题的关键3已知等差数列an中，a7+a9=4，则a8的值是（）A1B2C3D4【考点】等差数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】直接由已知结合等差数列的性质求得a8的值【解答】解：在等差数列an中，a7+a9=4，由等差数列的性质可得：故选：B【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题4设xR，则“x”是“2x2+x10”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】求出二次不等式的解，然后利用充
9、要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：由2x2+x10，可知x1或x；所以当“x”“2x2+x10”；但是“2x2+x10”推不出“x”所以“x”是“2x2+x10”的充分而不必要条件故选A【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力5已知ABC的三边分别为2，3，4，则此三角形是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定【考点】余弦定理【专题】三角函数的求值【分析】根据大边对大角，得到4所对的角最大，设为，利用余弦定理表示出cos，将三边长代入求出cos的值，根据cos的正负即可确定出三角形形状【解答】解：设4所对的角为，ABC的三边分别为2，
10、3，4，由余弦定理得：cos=0，则此三角形为钝角三角形故选：B【点评】此题考查了余弦定理，以及余弦函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6已知椭圆： +=1的焦距为4，则m等于（）A4B8C4或8D以上均不对【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先分两种情况：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）=4（2）焦点在y轴上时m2（10m）=4分别求出m的值即可【解答】解：（1）焦点在x轴上时：10m（m2）=4解得：m=4（2）焦点在y轴上时m2（10m）=4解得：m=8故选：C【点评】本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x轴或y轴上，考察a、b、c的关系
11、式，及相关的运算问题7有下列四个命题：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题； （2）“若xy，则x2y2”的逆否命题；（3）“若x3，则x2x60”的否命题； （4）“对顶角相等”的逆命题其中真命题的个数是（）A0B1C2D3【考点】命题的真假判断与应用；四种命题【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据四种命题的真假关系进行判断即可【解答】解：（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题是若x2+y20，则xy0”错误，如当x=0，y=1时，满足x2+y20，但xy=0，故命题为假命题（2）“若xy，则x2y2”为假命题，如当x=1，y=2，满足xy，但x2y2不成立，即原命
12、题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题（3）“若x3，则x2x60”的否命题是若x3，则x2x60为假命题，如当x=4时，满足x3，但x2x60不成立，即命题为假命题（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题故真命题的个数是0个故选：A【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，比较基础8设椭圆C： =1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2F1F2，PF1F2=30，则C的离心率为（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭
13、圆离心率的性质即可求得答案【解答】解：|PF2|=x，PF2F1F2，PF1F2=30，|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c2a=3x，2c=x，C的离心率为：e=故选D【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题9在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和4
14、50，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、ACB1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，B1CB=60，C1DC=45C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=C1DB1AAB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cosAB1C=故选A【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题10数列an=，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线（n+1）x+y+n=0在y轴上的截距为（）A
15、10B9C10D9【考点】数列与解析几何的综合【专题】计算题【分析】由题意因为数列an=，其前n项之和为，有数列通项的特点利用裂项相消得方法得到n的方程解出n的值是直线（n+1）x+y+n=0的方程具体化，再利用直线在y轴上的截距求出所求【解答】解：因为数列an的通项公式为且其前n项和为：+=1=，n=9，直线方程为10x+y+9=0令x=0，得y=9，在y轴上的截距为9故选B【点评】此题考查了裂项相消求数列的前n项和，及直线y轴截距，此外还考查了学生利用方程的思想解问题11已知点及抛物线上的动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A2B3C4D【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆
16、锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，将点P到准线y=1的距离转化为点P到焦点F的距离|PF|，再利用不等式的性质即可求得答案【解答】解：抛物线的方程为x2=4y，其焦点F（0，1），准线方程为y=1，抛物线上的动点P（x，y）到准线的距离为：y（1）=y+1，由抛物线的定义得：|PF|=y+1，又Q（2，0），y+|PQ|=y+1+|PQ|1=|PF|+|PQ|1|FQ|1=1=31=2（当且仅当F，P，Q三点共线时取等号）故选A【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点P到准线y=1的距离转化为点P到焦点F的距离|PF|是关键，突出考查转化思想，属于中档题12正项等比数列an中，存
17、在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）AB2CD【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值【解答】解：在等比数列中，a6=a5+2a4，即q2q2=0，解得q=2或q=1（舍去），=4a1，即2m+n2=16=24，m+n2=4，即m+n=6，=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号故选：A【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件二、填
18、空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13全称命题“xR，x2+5x=4”的否定是【考点】命题的否定【专题】对应思想；定义法；简易逻辑【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，故答案为：【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础14设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为【考点】简单线性规划【专题】计算题；作图题；数形结合法；不等式【分析】若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，从而化为线性规划求解即可【解答】解：若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，作平面区域如下，结合图象可知，过点A（1，1）时
19、，2x+y有最小值3，故目标函数的最大值为，故答案为：【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了指数函数的单调性的应用15等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【考点】等比数列的性质【专题】计算题；压轴题【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为【点评】本题主要考
20、查了等比数列的性质属基础题16如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的值等于2【考点】直线与平面垂直的性质【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】利用三垂线定理的逆定理、直线与圆相切的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质即可求出【解答】解：连接AQ，取AD的中点O，连接OQPA平面ABCD，PQDQ，由三垂线定理的逆定理可得DQAQ点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点Q满足PQDQ，BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即a=2故答案为：2【
21、点评】本题体现转化的数学思想，转化为BC与以线段AD的中点O为圆心的圆相切是关键，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围【考点】命题的真假判断与应用【专题】计算题【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在3，+）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为
22、假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围【解答】解：若p真：则=a2440a4或a4（4分）若q真：，a12（8分）由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假（10分）当p真q假时：a12；当p假q真时：4a4（12分）综上，a的取值范围为（，12）（4，4）（14分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键18（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值【
23、考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质【专题】计算题；数形结合；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）由椭圆，可得焦点，设双曲线的标准方程为： =1（a，b0），则a2+b2=4， =1，解出即可得出（2）设抛物线方程为y2=2px（p0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，可得，解得p，把点 M（3，m）代入抛物线即可得出【解答】解：（1）椭圆的焦点为（2，0），（2，0），设双曲线的标准方程为： =1（a，b0），则a2+b2=4， =1，解得a2=3，b2=1，所求双曲线的标准方程为（2）设抛物线方程为y2=2px（p0），则焦点，准线方程为，根据抛物线的定义，点M到焦点
24、的距离等于5，也就是点M到准线的距离为5，则，p=4，因此，抛物线方程为y2=8x，又点 M（3，m）在抛物线上，于是m2=24，【点评】本题考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19已知数列an的前n项和Sn=2n2+n，nN*（1）求an的通项公式；（2）若数列bn满足an=4log2bn+3，nN*，求数列anbn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）根据an=解出；（2）求出bn，使用错位相减法求和【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=3；当n2时，经检验，n=1时，上式成立an=4
25、n1，nN*（2）an=4log2bn+3=4n1，bn=2n1，nN*，2得：，故【点评】本题考查了数列的通项公式的解法，数列求和，属于中档题20已知在ABC中，（1）若三边长a，b，c依次成等差数列，sinA：sinB=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若，求cosB【考点】正弦定理；等差数列；余弦定理【专题】计算题；解三角形；平面向量及应用【分析】（1）依题意，设a=3k，（k0），则b=5k，c=7k，利用余弦定理即可求得三个内角中最大角的度数；（2）利用向量的数量积，与余弦定理即可求得cosB【解答】解：（1）在ABC中有sinA：sinB=3：5，a：b=3：5，设a=3k，
26、（k0）则b=5k，a，b，c成等差数列，c=7k，最大角为C，有cosC=，C=120（2）由=b2（ac）2 得：accosB=b2（ac）2，即accosB=a2+c22accosB（a2+c22ac），3cosB=2，cosB=【点评】本题考查余弦定理，考查平面向量的数量积，考查运算能力，属于中档题21如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB=，CE=EF=1（）求证：AF平面BDE；（）求证：CF平面BDE；（）求二面角ABED的大小【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】空间位置关系与距离【分
27、析】（）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形EGAF，就可证：AF平面BDE；（）先以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz把对应各点坐标求出来，可以推出=0和=0，就可以得到CF平面BDE（）先利用（）找到=（，1），是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量=0和=0，求出平面ABE的法向量，就可以求出二面角ABED的大小【解答】解：证明：（I）设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF
28、所在的平面互相垂直，CEAC，所以CE平面ABCD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（，0），D（，0，0），E（0，0，1），F（，1）所以=（，1），=（0，1），=（，0，1）所以=01+1=0， =1+0+1=0所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE（III）由（II）知， =（，1），是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=（x，y，z），则=0， =0即所以x=0，且z=y令y=1，则z=所以n=（），从而cos（，）=因为二面角ABED为锐角，所以二面角ABED为【点评】本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的
29、求法在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线当然也可以用面面平行来推导线面平行22椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为（）求椭圆C的标准方程；（）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kADkBD
30、=1，即可得出m与k的关系，从而得出答案【解答】解：（）左焦点（c，0）到点P（2，1）的距离为，解得c=1又，解得a=2，b2=a2c2=3所求椭圆C的方程为：（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m23）=0，=64m2k216（3+4k2）（m23）0，化为3+4k2m2，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kADkBD=1，y1y2+x1x22（x1+x2）+4=0， 化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=2k，且满足3+4k2m20当m=2k时，l：y=k（x2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=时，l：y=k，直线过定点综上可知，直线l过定点，定点坐标为【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题
