1、高二年级数学期中考前测试卷3第1卷 一、选择题1、 如图,空间四边形中,点在上,且,为的中点,则等于( ) A.B.C.D.2、设,则“”是“直线与直线平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为,焦距为,则椭圆的方程为( )A.B.或C.D.或4、已知命题:若,则;命题:若,则.在命题;中,真命题是( )A.B.C.D.5、顶点在原点,且过点的抛物线的标准方程是( )A.B.C.或D.或6、下列命题中正确的是( )“若,则不全为零”的否命题;“正三角形都相似”的逆命题;“若,则有实根”的逆否命题;“
2、若是有理数,则是无理数”的逆否命题.A.B.C.D.7、已知直线过点平行于向量平面过直线与点,则平面的法向量不可能是( )A.B.C.D.8、若是直线的方向向量,是平面的法向量,则直线和平面的位置关系是( )A.平行B.垂直C.直线在平面内D.直线与平面斜交9、抛物线的焦点坐标是 ( )A.B.C.D.10、椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则( )A.B.C.D.二、填空题11、已知,设,若实数使得与垂直,则的值为.12、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，-3，1），则|AB|=_.三、解答题13、设,分别是椭圆:的左,右焦点,是上一点且与轴垂直,直线与的另一个交点为
3、.1.若直线的斜率为,求的离心率;2.若直线在轴上的截距为,且,求.14、已知椭圆的一个顶点为离心率为.直线与椭圆交于不同的两点1.求椭圆的方程2.当的面积为时,求的值15、 如图所示,在三棱锥中,平面,分别是的中点,与交于点,与交于点,连接. 1.求证:;2.求二面角的余弦值.16、如图,直三棱柱中,别是的中点,.1.证明:平面;2.求二面角的正弦值.17、如图,棱锥的地面是矩形,平面,.1.求证:平面;2.求二面角的大小;3.求点到平面的距离.18、如图,在直三棱柱中,点是的中点.1.求异面直线与所成角的余弦值;2.求平面与所成二面角的正弦值.19、如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,点是棱
4、的中点。1.求直线与平面的距离2.若,求二面角的平面角的余弦值。20、如图, 四棱柱中, 侧棱底面, , , , , 为棱的中点.1.证明;2.求二面角的正弦值.3.设点在线段上,且直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.21、如图,四棱锥的底面是正方形,底面,点在棱上.1.求证:平面平面;2.当且为的中点时,求与平面所成的角的大小.参考答案 一、选择题1.答案： B2.答案： A解析： 由直线与直线平行得或,因此是“直线与直线平行”充分不必要条件,选A.考点:充要关系,两直线平行3.答案： D解析： 由,得,所以椭圆的方程为或,故选.4.答案： C解析： 由不等式性质知:命题为真命题,命题为
5、假命题,从而为假命题,。为真命题.故为假命题,为真命题,为真命题,为假命题,故选.5.答案： C解析： 由题意可设抛物线的标准方程为或,将点代入得,故抛物线的标准方程为或.6.答案： B7.答案： D解析： ,直线的方向向量为,设平面的法向量,则,经检验，都是平面的法向量，故选B.8.答案： B解析： 9.答案： B解析： 本题考查抛物线的标准方程和焦点坐标.抛物线标准方程,其焦点坐标为抛物线标准方程中,则焦点坐标为故选B.10.答案： A二、填空题11.答案： 2解析： 由题意知,故,又,所以.12.答案： .解析： 由两点间的距离公式，得考点：空间中两点间的距离公式三、解答题13.答案：
6、1.是上一点且与轴垂直,的横坐标为,当时,即.若直线的斜率为,即,即,即,则,即,解得或(舍去),即.2.由题意,原点是的中点,则直线与轴的交点是线段的中点,设,则,即,解得,是的中位线,即,由, 则,解得, 即,设,由题意知,则.即,即代入椭圆方程得,将代入得,解得,.14.答案： 1.椭圆的方程为2.解析： 1.由题意得,解得,所以椭圆的方程为2.由,得设点的坐标分别为,则,所以又因为点到直线的距离,所以的面积为由得, 15.答案： 1.证明:分别是的中点,.所以.又平面,平面,所以平面.又平面,平面平面,所以.又,所以. 2.解法一:在中,所以,即,平面.又,平面.由1问知,所以平面.又
7、平面,所以.同理可得,所以为二面角的平面角.设,连接,在中,由勾股定理得.在中,由勾股定理得.又为的重心,所以.同理.在中,由余弦定理得.即二面角的余弦值为.解法二:在中,所以.又平面,所以两两垂直.以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,.所以,.设平面的一个法向量为,由,得取,得,设平面的一个法向量为,由,得取,得,所以.因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为.16.答案： 1.证明:连接交于点,则为中点.又是中点,连接,则.因为平面平面,所以平面.2.由得,.以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则.设是平面的法向量,则即
8、可取.同理,设是平面的法向量,则可取.从而,故.即二面角的正弦值为.17.答案： 1.解法一:在中,为正方形,因此,平面,平面,.又,平面.解法二:简历如图所示的空间直角坐标系,则,在中,.,即,.又,平面.2.解法一:由平面,知为在平面上的射影.又,为二面角的平面角.又,.解法二:由1题得,.设平面的法向量为,则,即,故平面的法向量可取为,平面,为平面的法向量.设二面角的大小为,依题意可得,.3.解法一:,设到平面的距离为,由,有,得.解法二:由1题得,设平面的法向量为,则,即,.故平面的法向量可取为.,到平面的距离为.18.答案： 1.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以.
9、因为,所以异面直线与所成角的余弦值为.2.设平面的法向量,因为,所以,即且,取,得,所以是平面的一个法向量.取平面的一个法向量,设平面与平面所成二面角的大小为.由,得.因此平面与平面所成二面角的正弦值为.19.答案： 1.解法一:如图,在矩形中,从而平面,故直线与平面的距离为点到平面的距离。因底面,得,由,故为等腰直角三角形,而点是棱的中点,所以。又在矩形中,而是在底面内的射影,由三垂线定理得,从而平面,故之长即为直线与平面的距离。在中,所以。解法二:如图,以为坐标原点,射线分别为轴、 轴、轴正半轴,建立空间直角坐标系.设则 ,因此,所以平面.又由知平面,故直线与平面的距离为点到平面的距离,即
10、为2.解法一:过点作,交于,过点作,交于则为所求的二面角的平面角。由(1)知平面,又,得平面,故,从而,在中,由,所以为等边三角形,故为的中点,且,因平面,故,又,知,从而,且点为的中点,连接,则中,所以。20.答案： 1.如图,以点为原点建立空间直角坐标系,依题意得,.证明:易得,于是,所以. 2.设平面的法向量为,则即, 消去,得,不妨令,可得一个法向量为.由1问知,又,可得平面,故为平面的一个法向量.于是,从而,所以二面角的正弦值为.3.,设,有.可取为平面的一个法向量.设为直线与平面所成的角,则.于是,解得,所以.21.答案： 1.如图,以为原点建立空间直角坐标系.设,则,.,.又,且平面,平面,平面.又平面,平面平面.2.当且为的中点时,.设,则,连接.由1问知平面于.为与平面所成的角.,.即与平面所成的角为.
