1、高 考 总 复 习 优 化 设 计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI指点迷津(二)第三章2023巧用函数性质的二级结论解客观题关于函数的奇偶性、周期性、对称性,有很多重要的二级结论,运用这些结论解决客观题非常简洁、高效,举例说明如下.一、应用奇函数的二级结论解题结论1:如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有意义,那么f(0)=0.结论2:若奇函数f(x)在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.结论3:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)+c,则必有g(-x)+g(x)=2c.结论4:若函数f(x)是奇函数,且g(x)=f(x)
2、+c,g(x)在定义域上有最值,则必有g(x)max+g(x)min=2c.例1.(2021四川成都高三月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=3x-4x+a,则f(-1)=()答案 D解析 因为f(x)是奇函数,则f(0)=1+a=0,解得a=-1,即当x0时,f(x)=3x-4x-1,于是f(-1)=-f(1)=-(31-4-1)=2,故选D.A.-1B.0C.1D.2 答案 B例2.(2021福建福州格致中学高三期中)已知函数f(x)=aln(x+)+bsin x+2,若f(-3)=7,则f(3)的值()A.等于-7B.等于-5C.等于-3D.无法确定答案 C 对点
3、训练2(2021山东青岛高三月考)对于函数f(x)=,若f(5)+f(-5)=4,则a=.答案 2 例3.已知f(x)=ax3+bx9-在区间(0,+)上有最大值5,那么f(x)在(-,0)上的最小值为()A.-5B.-1C.-3D.5答案 A 对点训练3(2021湖南高三模拟)已知奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间-2,3上的最大值为9,最小值为-6,则f(-3)+f(2)的值为()A.3B.1C.-1D.-3答案 D解析因为奇函数y=f(x)为R上的增函数,且在区间-2,3上的最大值为9,最小值为-6,所以f(-2)=-6,f(3)=9,所以f(-3)+f(2)=-f(3)-f(-
4、2)=-3,故选D.例4.(2021广东佛山高三模拟)已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案 2 对点训练4(2021福建福州一中高三期末)若对x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y)-4,函数g(x)=+f(x)在区间-2 021,2 021上存在最大值和最小值,则其最大值与最小值的和为()A.4B.8C.12D.16答案 B解析由题设,f(x-x)=f(0)=f(x)+f(-x)-4且f(x+0)=f(x)=f(x)+f(0)-4,f(0)=4,则f(x)+f(-x)=8,若令m(x)=f(x)-4,则m(x)为奇函数.二、应用周期性的二级结论解题对f(x)定义域
5、内任一自变量的值x(a,b为非零常数):结论1:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;结论2:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;结论3:若f(x+a)+f(x)=c(cR),则f(x)的一个周期为2a;结论4:若f(x)=f(x+a)+f(x-a),则f(x)的一个周期为6a;结论7:若函数f(x)的图像关于直线x=a与x=b对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(ba).结论8:若函数f(x)的图像关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则f(x)的一个周期为2|b-a|(ba).结论9:若函数f(x)的图像关于直线x=a对称,又关于点(b,
6、0)对称,则f(x)的一个周期为4|b-a|(ba).(注意:结论7结论9的记忆:两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差)A.log27-2B.1C.log23-2D.log27-1答案 A例6.(2021江西南昌高三二模)已知奇函数f(x)满足f(5)=1,且函数f(x-2)的图像关于直线x=3对称,则f(2 021)=()A.-1B.1C.0D.3答案 B解析 函数f(x-2)的图像关于直线x=3对称,f(x)的图像关于直线x=1对称.又f(x)为奇函数,即函数的图像关于(0,0)中心对称,于是函数是周期函数,且一个周期为T=4|1-0|=4.f(2 021)=f(5)=1.对点训
7、练6(2021福建宁德高三期中)已知f(x)是定义域为R的奇函数,若f(x+1)为偶函数,f(1)=1,则f(2 020)-f(2 019)=()A.-2B.-1C.0D.1答案 D解析根据题意,f(x)是定义域为R的奇函数,则f(x)的图像关于点(0,0)中心对称,f(-x)=-f(x)且f(0)=0.又f(x+1)为偶函数,所以f(x)的图像关于直线x=1对称.故函数f(x)的一个周期为4,故f(2 020)=f(0)=0,f(2 019)=f(-1)=-f(1)=-1,故f(2020)-f(2 019)=1,故选D.答案 ABC 当k=0时,方程f(0)=0的根恰好是1,3,5,成等差数
8、列,2 021在此数列中;当k=1时,方程f(x)=1的根恰好是0,2,4,成等差数列,2 020在此数列中;当0k1时,要使方程f(x)=k的根成等差数列,则公差只能为1,设方程的根依对点训练7(2021辽宁实验中学高三二模)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且 ,f(0)0,则f(2 021)=()A.2 021B.1C.0D.-1 答案 C解析令x=y=0,则f(0)+f(0)=2f(0)f(0),故2f(0)(f(0)-1)=0,故f(0)=1(f(0)=0舍).=2f(x)f(1)=0,即f(x+1)=-f(x-1)f(x+2)=-f
9、(x)f(x+4)=f(x),故f(x)的一个周期为4,故f(2 021)=f(1)=0,故选C.三、应用对称性的二级结论解题结论1:若函数f(x+a)是偶函数,则函数f(x)的图像关于直线x=a对称.结论2:若函数f(x+a)是奇函数,则函数f(x)的图像关于点(a,0)中心对称.例8.(2021黑龙江佳木斯一中高三月考)已知定义域为R的函数f(x)在1,+)上单调递增,且f(x+1)为偶函数,若f(3)=1,则不等式f(2x+1)1的解集为()A.(-,-1)(1,+)B.(-1,+)C.(-,1)D.(-1,1)答案 D解析 根据题意,函数f(x+1)为偶函数,则函数f(x)的图像关于直
10、线x=1对称.又由函数f(x)在1,+)上单调递增且f(3)=1,则f(2x+1)1f(2x+1)f(3)|(2x+1)-1|3-1|,解得-1x1时,f(x)=x2-6x+8,则函数f(x)的所有零点之和是()A.2B.4C.6D.8答案 B解析因为f(x+1)为奇函数,所以f(x)的图像关于点(1,0)中心对称.当x1时,f(x)=x2-6x+8,令f(x)=x2-6x+8=0,解得x1=2或x2=4.因为f(x)的图像关于点(1,0)中心对称,所以当x1时,f(x)=0有两解,为x3=0或x4=-2.所以f(x)的所有零点之和是2+4+0+(-2)=4,故选B.答案 BC 答案 A解析因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,即f(2)=f(0).又因为f(2)=f(1)-f(0),所以f(2)=.又因为f(x+2)=f(x+1)-f(x),所以f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=-f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的一个周期函数,所以f(2 021)=f(6336+5)=f(5)=f(4)-f(3)=f(3)-f(2)-f(3)=-f(2)=-,故选A.
