1、考试内容等级要求柱、锥、台、球及其简单组合体A柱、锥、台、球的表面积与体积A平面及其基本性质A直线与平面平行、垂直的判定及性质B两平面平行、垂直的判定及性质B空间向量的概念A空间向量共线、共面的充分必要条件B空间向量的加法、减法及数乘运算B空间向量的坐标表示B空间向量的数量积B空间向量的共线与垂直B直线的方向向量与平面的法向量B空间向量的应用B8.1空间几何体的表面积与体积考情考向分析本部分是高考考查的重点内容，主要涉及空间几何体的表面积与体积的计算命题形式主要以填空题为主，考查空间几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化
2、归思想1多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3【知识拓展】1与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等2几个与球有
3、关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2Ra；若球为正方体的内切球，则2Ra；若球与正方体的各棱相切，则2Ra.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)锥体的体积等于底面积与高之积()(3)球的体积之比等于半径比的平方()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差()(5)长方体既有外接球又有内切球()(6)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一
4、个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S.()题组二教材改编2P55练习T3已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为_cm.答案2解析S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2.3P60练习T4已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为_答案28题组三易错自纠4各棱长均为2的正三棱锥的表面积是_答案4解析每个面的面积为22，该正三棱锥的表面积为4.5体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_答案12解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212.6已知某圆柱的侧面展开图是边长为
5、2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_答案或解析设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l2a时，2ra，r，这时V圆柱2a2；当la时，2r2a，r，这时V圆柱a2.综上，该圆柱的体积为或.题型一求空间几何体的表面积1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4，则其侧棱长为_答案解析依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径设侧棱长为a，外接球的半径为r.由外接球的表面积为4，得r1，a2r2，a.2正六棱台的上、下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为_ cm2.答案解析正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，
6、下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高又边长为1 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为2 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，则梯形的高为 (cm)，所以正六棱台的侧面积为6(12)(cm2)思维升华 空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用题型二求空间几何体的体积典例 (1)(2017江苏宿迁三模)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAA13，点P在棱CC1上，则三棱锥PABA1的体积为_答案解析三棱锥PABA1的体积等于三棱锥BAPA1的体积，点B到面APA1的距离
7、为，APA1的面积为，故三棱锥PABA1的体积为.(2)(2017江苏南京三模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，BB13，ABC90，点D为侧棱BB1上的动点当ADDC1最小时，三棱锥DABC1的体积为_答案解析几何体展开图如图所示：ABDACC1，AB1，BC2，BB13，AC3，CC13，BD1，则121.思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解跟踪训练 (1)(2018届南京一中调研)
8、如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是_答案解析由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，该正四棱锥的高h，其体积V12.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_答案解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中点O，连结GO，易得GO，SAGDSBHC1，多面体的体积VV三棱锥EADGV三棱锥FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱锥EADGV三
9、棱柱AGDBHC21.题型三简单的等积变换典例 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1V2等于多少？解如图，延长A1A到A2，B1B到B2，C1C到C2，且A1AAA2，B1BBB2，C1CCC2，连结A2C2，A2B2，B2C2，则得到三棱柱ABCA2B2C2，且延长B1E，C1F，则B1E与C1F相交于点A2.因为A2AA2A112，所以.又，所以V17，故V1V27(127)75.思维升华 当所给几何体的体积不容易计算时，可根据几何体的结构特征将其分解成多个体积可求的几何体，或者补形成体积可求的
10、几何体，这种解法就是割补法，割补法求体积体现了转化与化归思想的应用跟踪训练 (2018届灌云高级中学检测)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为_答案1解析如图，连结AD，因为ABC是正三角形，且D为BC中点，则ADBC.又因为BB1平面ABC，故BB1AD，且BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，所以AD是三棱锥AB1DC1的高所以1.1若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的_倍答案2解析设底面半径为r，则S底面r2，S侧面2r2r2r2，所以S侧面2S底面2(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的
11、底面面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等且，则的值是_答案解析设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则2r1h12r2h2，所以.又，所以，则.3已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥OABC的体积为，则球O的表面积为_答案16解析设球O的半径为R，以球心O为顶点的三棱锥的三条侧棱两两垂直且都等于球的半径R，另外一个侧面是边长为R的等边三角形因此根据三棱锥的体积公式，得R2R，R2，S球的表面积42216.4(2013江苏) 如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三
12、棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1V2_.答案解析由题意可知，三棱锥FADE与三棱柱A1B1C1ABC的高之比为，底面积之比为，故V1V2.5(2018届淮安中学质检) 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，则三棱锥BAEF的体积为_答案解析连结AC，BD，易知AC平面BDD1B1，则V三棱锥BAEFV三棱锥ABEFSBEFEFBB11.6九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥PABC为鳖臑，PA平面ABC，PAAB2，AC4，
13、三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为_答案20解析方法一将三棱锥PABC放入长方体中，如图(1)，三棱锥PABC的外接球就是长方体的外接球因为PAAB2，AC4，ABC为直角三角形，所以BC2.设外接球的半径为R，由题意可得(2R)22222(2)220，故R25，则球O的表面积为4R220.方法二利用鳖臑的特点求解，如图(2)，因为四个面都是直角三角形，所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O，易得2RPC，所以球O的表面积为4R220.7(2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个若将它们重新制作成总
14、体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_答案解析设新的底面半径为r，由题意得r24r28524228，解得r.8(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_答案解析设正方体棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.9. 如图所示，在直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_答案(3)解析根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1
15、)，如图所示则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为2121212(3).10如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_.答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加了R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r.故.11.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积(1)证明因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，AC平面ABC
16、D，所以BEAC.而BDBEB，BD，BE平面BED，所以AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)解设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥E-ACDACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.12(2017南京二十九中调研)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，平面PCD平面ABCD，平面PCB平面ABCD，E，
17、F分别为线段CD，PA的中点(1)求证：EF平面PBC；(2)若PBC，AB4，求棱锥PABCE的体积(1)证明取PB中点G，连结FG，CG.F为PA的中点，FG綊AB.又E为CD的中点，ABCD为正方形，EC綊CD綊AB，EC綊FG.即四边形ECGF为平行四边形，EFGC.又EF平面PBC，CG平面PBC，EF平面PBC.(2)解平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，又BCCD，BC平面PCD，BCPC.同理CDPC，PC平面ABCD，AB4，PBC，PC4.VPABCE4416.13(2014江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积
18、相等，且，则的值是_答案解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由，得，则.由圆柱的侧面积相等，得2r1h12r2h2，即r1h1r2h2，所以.14在三棱锥PABC中，PA平面ABC且PA2，ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_答案8解析由题意得，此三棱锥外接球即为以ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为ABC的外接圆半径r1，外接球球心到ABC的外接圆圆心的距离d1，所以外接球的半径R，所以三棱锥外接球的表面积S4R28.15已知三棱锥OABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，AOB120，当AOC与BOC的面积之和最大时，三棱
19、锥OABC的体积为_答案解析设球O的半径为R，因为SAOCSBOCR2(sinAOCsinBOC)，所以当AOCBOC90时，SAOCSBOC取得最大值，此时OAOC.OBOC，OBOAO，OA，OB平面AOB，所以OC平面AOB，所以V三棱锥OABCV三棱锥COABOCOAOBsinAOBR3sinAOB.16(2016江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)V6226224312(m3)(2)设PO1x，则O1B1，B1C1，2(62x2)，又由题意可得下面正四棱柱的高为4x.则仓库容积Vx2(62x2)2(62x2)4xx(36x2)由V0得x2或x2(舍去)由实际意义知V在x2(m)时取到最大值，故当PO12(m)时，仓库容积最大
