1、单元质检卷二 函数与基本初等函数(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021 山东潍坊高三期中)若函数 f(x)=的定义域是x|xR,x2,则函数 f(x)的值域为()A.(-,-2)(-2,+)B.(-,2)(2,+)C.(-,-2)D.(-2,+)2.(2021 天津和平高三期中)若 2a=3b=6,则 =()A.1 B.C.D.3.(2021 江苏南京高三月考)函数 y=4x-62x+8 的所有零点的和等于()A.8 B.6 C.3 D.2 4.(2021 湖南师大附
2、中高三期中)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(-12)-f(4)等于()A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.(2021 广东佛山高三月考)已知函数 f(x)=ln|x|+ex+e-x,则 f-,f ,f 的大小关系是()A.f-f f B.f f-f C.f f-f D.f f f-6.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间0,3上的最小值为-2,则实数 a 的值为()A.-2 B.-2 或 C.-2 或 1 D.2 7.(2021 山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法
3、概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数 f(x)满足 f(4-x)=f(x),且当 x0,2时的解析式为f(x)=-则函数 y=f(x)在0,4上的图像与直线 y=-1 围成的封闭图形的面积是()A.2 B.2log23 C.4 D.4log23 8.(2021 湖北宜昌高三期末)已知函数 f(x)=ln(x-2)+ln(4-x),则()A.f(x)的图像关于直线 x=3 对称 B.f(x)的图像关于点(3,0)对称 C.f(x)在(2,4)上单调递
4、增 D.f(x)在(2,4)上单调递减 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分.9.(2021 山东宁津高三月考)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()A.y=x3 B.y=ln C.y=2-|x|D.y=cos x 10.(2021 湖南衡阳高三期末)定义一种运算:a b=设 f(x)=(5+2x-x2)|x-1|,则下列结论正确的是()A.f(x)的图像关于直线 x=1 对称 B.f(x)的图像与直线 y=5 有三个公共点 C.f(x)的单
5、调递减区间是(-,-1和1,3 D.f(x)的最小值是 2 11.(2021 山东潍坊高三三模)已知函数 y=ax(a0 且 a1)的图像如图,则下列四个函数图像与函数解析式对应正确的是()12.(2021 江苏徐州高三期末)设函数 f(x)=-,则()A.f(x)的最大值为 B.|f(x)|x|C.曲线 y=f(x)存在对称轴 D.曲线 y=f(x)存在对称中心 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13.(2021 福建三明高三三模)能够说明“若 ,ay”是假命题的一组整数 x,y 的值依次为 .14.函数 f(x)=ax+5-2(a0,a1)的图像恒过定点 P,则点
6、 P 的坐标为 .15.(2021 辽宁锦州高三模拟)函数 y=-的图像与函数 y=4sin x(-x 的图像所有交点的横坐标之和为 .16.(2021 山东济南高三期中)已知函数 f(x)=x,g(x)=ax2-x,其中 a1.若x11,3,x21,3,使得 f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,则实数 a=.四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分)(2021 江苏镇江高三月考)已知幂函数 f(x)=(m-1)2 -在(0,+)上单调递增,函数g(x)=2x-k.(1)求实数 m 的值;(2)当 x1,2时,记 f(x)
7、,g(x)的值域分别为集合 A,B,若 AB=A,求实数 k 的取值范围.18.(12 分)(2021 山东烟台高三期中)已知函数 f(x)=-(1)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围;(2)若函数 f(x)的值域为-1,+),求实数 a 的取值范围.19.(12 分)已知命题 p:函数 f(x)=|x+2c|在-1,+)上单调递增;命题 q:函数 g(x)=-a(a0)有零点.(1)当 a=2 时,命题 p 和 q 均为真命题,求实数 c 的取值范围;(2)若“p 为真命题”是“q 为真命题”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.20.(12 分)(2021 上
8、海格致中学高三三模)“弗格指数 f=loga -”是用来衡量地区内居民收益差距的一个经济指标,其中 b 是该地区的最低保障收入系数,a 是该地区收入中位系数,x 是该地区收入均值系数.经换算后,a,b,x 都是大于 1 的实数,当 f(1,2)时,该地区收入均衡性最为稳定.(1)指出函数 g(x)=f=loga -的定义域与单调性(不用证明),并说明其实际意义.经测算,某地区的“弗格指数”为 0.89,收入均值系数为 3.15,收入中位系数为 2.17,则该地区的最低保障收入系数为多少(参考数据:2.170.892)?(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,求该地区收入均值系数的取值范围(用 a,
9、b 表示).21.(12 分)(2021 浙江高三月考)已知函数 f(x)=(x-1)|x-a|.(1)若 a=2,求 f(x)在 0,上的最大值;(2)已知函数 g(x)=f(x)+|x-a|-x+a-m,若存在实数 a(-1,2,使得函数 g(x)有三个零点,求实数 m的取值范围.22.(12 分)(2021 山东淄博高三期末)已知函数 f(x)=loga(ax+1)+bx(a0 且 a1,bR)是偶函数,函数 g(x)=ax(a0 且 a1).(1)求实数 b 的值;(2)若函数 h(x)=f(x)-x-a 有零点,求实数 a 的取值范围.单元质检卷二 函数与基本初等函数 1.A 解析:
10、由 x+a0 得 x-a,因此 a=-2,所以 f(x)=-2-,由于 -0,因此-2-2,即函数f(x)的值域为(-,-2)(-2,+),故选 A.2.A 解析:由于 2a=3b=6,所以 a=log26,b=log36,因此 =log62,=log63,则 =1,于是 +=1,故选 A.3.C 解析:令 y=4x-62x+8=0 得(2x-4)(2x-2)=0,所以 2x=4 或 2x=2,解得函数的零点为 x1=2,x2=1,故零点之和等于 3.4.C 解析:若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,则 f(-x)=-f(x),f(x+5)=f(x),所以 f(-12)=-f(12)=
11、-f(2)=-2,f(4)=f(-1)=-f(1)=-1,所以 f(-12)-f(4)=-2-(-1)=-1,故选 C.5.C 解析:由 f(-x)=ln|-x|+e-x+e-(-x)=ln|x|+ex+e-x=f(x)且 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),即f(x)为偶函数,所以当 x0 时,f(x)=lnx+ex+e-x,则 f(x)=-0,即 f(x)在(0,+)上单调递增,所以 f-=f ,而 ,故 f f-f ,故选 C.6.D 解析:函数 f(x)=x2-2ax+a=(x-a)2-a2+a,当 a 时,函数在区间0,3上单调递增,函数的最小值 f(0)=a=-2,符合题意;当
12、 0a3 时,函数在区间0,3上的最小值 f(a)=-a2+a=-2,解得 a=-1(舍)或 a=2,所以 a=2;当 a 时,函数在区间0,3上单调递减,函数的最小值 f(3)=9-6a+a=-2,解得a=,不合题意,综上可知 a=2,故选 D.7.C 解析:由题意知 f(x)关于直线 x=2 对称,而 f(x)=-且 f(0)=f(4)=-1,f(2)=1,所以在0,4上函数 f(x),f(4-x)及 y=-1 的图像如图.将所围成的图形在 x 轴下半部分阴影区域分成两部分相补到 x 轴上半部分阴影区域,可得到由 x轴,y 轴,y=1,x=4 所围成的矩形的面积,所以函数 y=f(x)在0
13、,4上的图像与直线 y=-1 围成的封闭图形的面积为 4,故选 C.8.A 解析:f(x)的定义域为(2,4).对于 A,因为 f(x+3)=ln(x+1)+ln(1-x)=f(3-x),所以 f(x)的图像关于 x=3 对称,因此 A 选项正确;对于 B,由 A 知 f(x+3)-f(3-x),所以 f(x)的图像不关于点(3,0)对称,因此 B 选项错误;对于 C,f(x)=ln(x-2)+ln(4-x)=ln(-x2+6x-8),函数 y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此 f(x)在(2,3)上单调递增,在(3,4)上单调递减,因此
14、C 选项,D 选项错误,故选 A.9.BC 解析:对于 A,函数是奇函数,不满足题意;对于 B,因为 ln -=ln ,所以函数是偶函数,在区间(0,+)上,y=-lnx,函数单调递减,满足题意;对于 C,因为 2-|-x|=2-|x|,所以函数是偶函数,在区间(0,+)上,y=2-x,函数单调递减,满足题意;对于 D,函数是偶函数,在区间(0,+)上不单调,不满足题意,故选 BC.10.ACD 解析:由题意,f(x)=(5+2x-x2)|x-1|=-或 作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,故 A 正确;函数 f(x)的图像与直线 y=5 有四个公共
15、点,故 B 错误;函数 f(x)的单调递减区间是(-,-1和1,3,故 C 正确;函数 f(x)的最小值是 2,故 D 正确,故选 ACD.11.ABD 解析:由图可得 a1=2,即 a=2,y=a-x=x单调递减且过点(-1,2),故 A 正确;y=x-a=x-2为偶函数,在(0,+)上单调递减,在(-,0)上单调递增,故 B 正确;y=a|x|=2|x|=-为偶函数,结合指数函数图像可知不符合题意,故 C 错误;y=|logax|=|log2x|,根据“上不动、下翻上”可知 D 正确,故选 ABD.12.ABC 解析:对于选项 A,因为 sin x-1,1,x2-x+1=x-2+,所以 f
16、(x)=-,故 A 正确;对于选项 B,由于 =-5,所以|f(x)|x|,故 B 正确;对于选项 C,因为直线 x=是曲线 y=sin x 的对称轴,也是曲线 y=x2-x+1=x-2+的对称轴,所以直线x=是曲线 y=f(x)的对称轴,故 C 正确;对于选项 D,因为 f(a-x)+f(a+x)不可能为常数,所以曲线y=f(x)不存在对称中心,即 D 错误,故选 ABC.13.-1,1(答案不唯一)解析:当 ,ay;当 x,y 异号时,y0 x,故取整数 x,y 满足 y0 x 即可.14.(-5,-1)解析:当 x+5=0,即 x=-5 时,y=a0-2=-1,即 f(-5)=-1,故函
17、数图像恒过定点(-5,-1),即点 P 的坐标为(-5,-1).15.12 解析:设 f(x)=-,g(x)=4sin x,当 x1 时,f(2-x)=-=-f(x),即 f(2-x)+f(x)=0,所以函数 f(x)=-的图像关于点(1,0)中心对称,g(2-x)=4sin(2-x)=4sin(2-x)=-4sin x=-g(x),即 g(2-x)+g(x)=0,所以,函数 g(x)=4sin x 的图像也关于点(1,0)中心对称,作出函数 y=-与函数 y=4sin x(-x 的图像如图:由图像可知,两个函数图像共有 12 个交点,形成 6 对关于点(1,0)对称的点对,因此两个函数所有交
18、点的横坐标之和为 62=12.16.解析:x11,3,x21,3,使得 f(x1)f(x2)=g(x1)g(x2)成立,即为 ,即 ax1-1=-成立.由于 a1,可得 ax1-1 在1,3上的值域为a-1,3a-1,-在1,3上的值域为 -,由题意可得在1,3内,ax1-1 的值域为 -的值域的子集,因此 -a-12a,解得 0a0,又因为 x1 且 b1,解得 xb,所以函数 g(x)的定义域为(b,+).令 t=-(xb),则 f=logat.因为 t=-=1+-,所以当 x(b,+)时,函数 t=-单调递减;又因为 a1,所以 f=logat 在(0,+)上单调递增,故 f=loga
19、-在定义域(b,+)上是减函数.其实际意义是当该地区收入均值系数 x 大于该地区的最低保障收入系数 b 时,收入均值系数 x 越大,弗格指数 f 越小.将 f=0.89,x=3.15,a=2.17 代入函数得 0.89=log2.17 -,所以 -=2.170.892b3.15-=1.05.故该地区的最低保障收入系数为 1.05.(2)要使该地区收入均衡性最为稳定,则 f(1,2),即 1loga -1,所以 a -a2,即 a-1 -b,a1,所以 -,解得 -x -.即该地区收入均值系数 x 的取值范围是 -.21.解(1)当 a=2 时,f(x)=(x-1)|x-2|.若 x0,2,则
20、f(x)=-(x-1)(x-2)=-x-2+,所以 f(x)max=f =.若 x 2,则 f(x)=(x-1)(x-2)=x-2-,f(x)在区间内单调递增,所以 f(x)max=f =.综上 f(x)在 0,上的最大值为 .(2)由题设,令 g(x)=x|x-a|-(x-a)-m=0.所以 x|x-a|-(x-a)=m 在 a(-1,2上有三个根,即 h(x)=-与 y=m 有三个交点.当-1a1 时,h(x)在-,-,+上单调递增,在-上单调递减,此时,h mh-,可得-m ,故-1m1;当 a 时,h(x)在-,-,(a,+)上单调递增,在-,a 上单调递减,此时,0mh-,可得 0m
21、 1,故 0m .综上,实数 m 的取值范围为-1,.22.解(1)因为 f(x)为偶函数,所以xR,有 f(-x)=f(x).即 loga(a-x+1)-bx=loga(ax+1)+bx 在 R 上恒成立.所以 loga(a-x+1)-loga(ax+1)=2bx 在 R 上恒成立.所以 2bx=-x,故 b=-.(2)若函数 h(x)=f(x)-x-a 有零点,所以 loga(ax+1)-x=a 有解,即 loga 1+=a 有解.令 p(x)=loga 1+,则函数 y=p(x)图像与直线 y=a 有交点.当 0a1,p(x)=loga 1+1 时,因为 1+1,p(x)=loga 1+0,由 loga 1+=a 有解可知 a0,所以 a1.故 a 的取值范围是(1,+).
