1、第4讲电磁感应中的动力学和能量问题核心考点分类突破析考点 讲透练足考点一电磁感应中的动力学问题1导体的两种运动状态(1)导体的平衡状态静止状态或匀速直线运动状态。处理方法：根据平衡条件(合力等于零)列式分析。(2)导体的非平衡状态加速度不为零。处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析。2力学对象和电学对象的相互关系典题1如图所示，质量为M的导体棒ab垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上，导轨平面与水平面的夹角为，并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，左侧是水平放置、间距为d的平行金属板，R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值，不计其他电阻。(1)调节
2、RxR，释放导体棒，当棒沿导轨匀速下滑时，求通过棒的电流I及棒的速率v；(2)改变Rx，待棒沿导轨再次匀速下滑后，将质量为m、带电量为q的微粒水平射入金属板间，若它能匀速通过，求此时的Rx。解析(1)导体棒匀速下滑时，有Mgsin BIl可得I导体棒产生的感应电动势E0Blv由闭合电路欧姆定律得I联立解得v(2)改变Rx，由式可知电流不变。设带电微粒在金属板间匀速通过时，板间电压为U，电场强度大小为E，则UIRxEmgqE联立解得Rx答案(1)(2)用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题 解决电磁感应中动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：1如图所示，有两根和水平方向成角的光滑平行
3、金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆(电阻忽略不计)从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则()A如果B增大，vm将变大B如果增大，vm将变大C如果R变小，vm将变大D如果m变小，vm将变大解析：选B金属杆从轨道上由静止滑下，经足够长时间后，速度达最大值vm，此后金属杆做匀速运动。杆受重力、轨道的支持力和安培力如图所示。安培力FLB，对金属杆列平衡方程式：mgsin ，则vm。由此式可知，B增大，vm减小；增大，vm增大；R变小，vm变小；m变小，vm变小。因此A、C、D错误，B正
4、确。2如图所示，MN、PQ为足够长的平行金属导轨，间距L0.50 m，导轨平面与水平面间夹角37，N、Q间连接一个电阻 R5.0 ，匀强磁场垂直于导轨平面向上，磁感应强度B1.0 T。将一根质量为m0.050 kg的金属棒放在导轨的ab位置，金属棒及导轨的电阻不计。现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数0.50，当金属棒滑行至cd处时，其速度大小开始保持不变，位置cd与ab之间的距离s2.0 m。已知g10 m/s2，sin 370.60，cos 370.80。求：(1)金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；(2)金属棒到达
5、cd处的速度大小；(3)金属棒由位置ab运动到cd的过程中，电阻R产生的热量。解析：(1)设金属棒开始下滑时的加速度大小为a，由牛顿第二定律得mgsin mgcos ma解得a2.0 m/s2(2)设金属棒到达cd位置时速度大小为v、电流为I，金属棒受力平衡，有mgsin BILmgcos I联立解得v2.0 m/s(3)设金属棒从ab运动到cd的过程中，电阻R上产生的热量为Q，由能量守恒定律有mgssin mv2mgscos Q解得Q0.10 J答案：(1)2.0 m/s2(2)2.0 m/s (3)0.10 J考点二电磁感应中的能量问题1电磁感应中的能量转化2求解焦耳热Q的三种方法3解决电
6、磁感应现象中能量问题的一般步骤(1)在电磁感应中，切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源。(2)分析清楚有哪些力做功，就可以知道有哪些形式的能量发生了相互转化。(3)根据能量守恒列方程求解。典题2(2014江苏高考)如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层。匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直。质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端。导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为
7、R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g。求：(1)导体棒与涂层间的动摩擦因数；(2)导体棒匀速运动的速度大小v；(3)整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q。解析(1)在绝缘涂层上导体棒受力平衡，有mgsin mgcos 解得tan (2)在光滑导轨上，感应电动势EBLv感应电流I安培力F安BIL导体棒受力平衡，有F安mgsin 联立解得v(3)摩擦生热QTmgdcos 由能量守恒定律有3mgdsin QQTmv2解得Q2mgdsin 答案(1)tan (2) (3)2mgdsin 1(2016烟台模拟)如图所示，足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置，且都倾斜与水平面成夹角。在导轨的最上端M、
8、P之间接有电阻R，不计其他电阻。导体棒ab从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab上升的最大高度为H；若存在垂直导轨平面的匀强磁场时，ab上升的最大高度为h。在两次运动过程中ab都与导轨保持垂直，且初速度都相等。关于上述情景，下列说法正确的是()A两次上升的最大高度相比较为HhB有磁场时导体棒所受合力做的功等于无磁场时合力做的功C有磁场时，电阻R产生的焦耳热为mvD有磁场时，ab上升过程的最小加速度大于gsin 解析：选B当有磁场时，导体棒除受到重力沿斜面向下的分力外，还切割磁感线产生感应电流，故受到安培力的作用，所以两次上升的最大高度相比较为ha)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，
9、金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是()Amgb B.mv2 Cmg(ba) Dmg(ba)mv2解析：选D小金属环进入或离开磁场时，磁通量会发生变化，并产生感应电流，产生焦耳热；当小金属环全部进入磁场后，不产生感应电流，小金属环最终在磁场中做往复运动，由能量守恒可得产生的焦耳热等于减少的机械能，即Qmv2mgbmgamg(ba)mv2，D正确。5如图所示，水平光滑的平行金属导轨，左端接有电阻R，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒PQ垂直导轨放置。若使棒以一定的初速度v0向右运动，当其通过位置a、b时，速率分别为va、vb，到位置c时棒刚好静止，设金属导轨与棒的电阻均
10、不计，a到b到c的间距相等，则金属棒在从a到b和从b到c的两个过程中()A回路中产生的内能相等B棒运动的加速度相等C安培力做功相等D通过棒横截面积的电荷量相等解析：选D金属棒由a到b再到c的过程中，速度逐渐减小，根据EBlv知，E减小，故I减小，再根据FBIl知，安培力减小，根据Fma知，加速度减小，B错误；由于a与b、b与c间距相等，故从a到b安培力做的功大于从b到c安培力做的功，因安培力做的功等于回路中产生的内能，A、C错误；再根据平均感应电动势E，I，qIt得q，D正确。6如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为。虚线框
11、abcd内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的 dc 边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的dc边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为()A.mvmglB.mvmglC.mv2mgl D.mv2mgl解析：选D依题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2mgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Qmv2mgl，故选项D正确。二、多项选择题7如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩
12、擦滑动，两金属棒ab、cd的质量之比为21。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd，经过足够长时间以后()A金属棒ab、cd都做匀速运动B金属棒ab上的电流方向是由b向aC金属棒cd所受安培力的大小等于D两金属棒间距离保持不变解析：选BC对两金属棒ab、cd进行受力和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab速度小于金属棒cd速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab上的电流方向是由b到a，A、D错误，B正确；以两金属棒整体为研究对象有：F3ma，隔离金属棒cd分析：FF安ma，可求得金属棒cd所受安培力的大小F安F，C正确。8(2016河南联考
13、)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻。质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图所示，不计导轨的电阻， 重力加速度为g，则()A金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为abB金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为C金属棒的最大速度为D金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为R解析：选BD金属棒在磁场中向下运动时，由楞次定律可知，流过电阻R的电流方向为ba，选项A错误；金属棒的速度为v时，金属棒中感应电动势EBLv，感应电流I，所受的安培力大小为FBIL，选项B正确；当安培力F
14、mg时，金属棒下落速度最大，金属棒的最大速度为v，选项C错误；金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R和r的热功率为Pmgv(Rr)，电阻R的热功率为R，选项D正确。9.如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为L，与水平方向成角倾斜固定，导轨之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨上垂直导轨放置着质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b，二者都被垂直于导轨的挡板挡住保持静止，金属导轨电阻不计，现对b棒施加一垂直于棒且平行于导轨平面向上的牵引力F，并在极短的时间内将牵引力的功率从零调为恒定的P。为了使a棒沿导轨向上运动，P的取值可能为(重力加速度为g)()A.sin2B.sin2C.si
15、n2 D.sin2解析：选CD以b棒为研究对象，由牛顿第二定律可知Fmgsin BLma，以a棒为研究对象，由牛顿第二定律可知BLmgsin ma，则F2mgsin ，v，故PFvsin2，选项C、D正确，A、B错误。10如图所示，ABCD为固定的水平光滑矩形金属导轨，处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，AB间距为L，左右两端均接有阻值为R的电阻，质量为m、长为L且不计电阻的导体棒MN放在导轨上，与导轨接触良好，并与轻质弹簧组成弹簧振动系统。开始时，弹簧处于自然长度，导体棒MN具有水平向左的初速度v0，经过一段时间，导体棒MN第一次运动到最右端，这一过程中AB间R上产生的焦耳热为Q，
16、则()A初始时刻导体棒所受的安培力大小为B当导体棒再一次回到初始位置时，AB间电阻的热功率为C当导体棒第一次到达最右端时，弹簧具有的弹性势能为mv2QD当导体棒第一次到达最左端时，弹簧具有的弹性势能大于mvQ解析：选AC由FBIL，I，R并R，得初始时刻导体棒所受的安培力大小为F，A正确；由于回路中产生焦耳热，导体棒和弹簧的机械能有损失，所以当导体棒再次回到初始位置时，速度小于v0，导体棒产生的感应电动势EBLv0，由电功率公式P知，则AB间电阻R的功率小于，故B错误；由能量守恒得知，当导体棒第一次达到最右端时，物体的机械能全部转化为整个回路中的焦耳热和弹簧的弹性势能。电阻R上产生的焦耳热为Q
17、，整个回路产生的焦耳热为2Q。弹簧的弹性势能为：Epmv2Q，故C正确；由题意知，导体棒第一次运动至最右端的过程中AB间电阻R上产生的焦耳热为Q，回路中产生的总焦耳热为2Q。由于安培力始终对MN做负功，产生焦耳热，导体棒第一次达到最左端的过程中，导体棒平均速度最大，平均安培力最大，位移也最大，导体棒克服安培力做功最大，整个回路中产生的焦耳热应大于Q，弹簧的弹性势能将小于mvQ，选项D错误。三、计算题11.如图所示，光滑平行的水平金属导轨MNPQ相距l，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO1O1O矩形区域内有垂直导轨平面竖直向下、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为
18、r的导体棒ab垂直搁在导轨上，与磁场左边界相距d0。现用一大小为F、水平向右的恒力拉ab棒，使它由静止开始运动，棒ab在离开磁场前已经做匀速直线运动(棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计)。求：(1)棒ab在离开磁场右边界时的速度；(2)棒ab通过磁场区的过程中整个回路所消耗的电能。解析：(1)棒在磁场中匀速运动时，有FFABIl再根据I联立解得v(2)安培力做的功转化成两个电阻消耗的电能Q和ab的动能，据能量守恒定律可得F(d0d)Qmv2解得QF(d0d)答案：(1) (2)F(d0d)12如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN、MN位于同一水平面上，两轨道之间的距离l0.50 m
19、。轨道的MM端接一阻值为R0.50 的定值电阻。直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度为B0.60 T的匀强磁场中，磁场区域的右边界为NN，宽度为d0.80 m。NN端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP、NP平滑连接，两半圆形轨道的半径均为R00.50 m。现有一导体杆ab静止在距磁场的左边界s2.0 m处，其质量m0.20 kg、电阻r0.10 。ab杆在与杆垂直的水平恒力F2.0 N的作用下开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F，杆穿过磁场区域后，沿半圆形轨道运动，结果恰好能通过半圆形轨道的最高位置PP。已知杆始终与轨道垂直，杆与直轨道之间的动摩擦因数0.10，轨道电阻忽略不计，取g
20、10 m/s2，求：(1)导体杆通过PP后落到直轨道上的位置离NN的距离；(2)导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R的电荷量；(3)导体杆穿过磁场的过程中整个电路产生的焦耳热。解析：(1)设导体杆运动到半圆形轨道最高位置的速度为v，因导体杆恰好能通过轨道最高位置，由牛顿第二定律得mg导体杆通过PP后做平抛运动，则xvt2R0解得x1 m(2)根据qIt，I，E，Bld联立解得q0.4 C(3)设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时速度为v1，由动能定理有(Fmg)smv解得v16.0 m/s在导体杆从刚进磁场到滑至最高位置的过程中，由能量守恒定律有Qmg2R0mgd解得Q0.94 J答案：(1)1 m(2)0.4 C(3)0.94 J
