1、微专题49利用数列单调性求解相关数列问题数列的单调性问题是高考中的难点也是热点本专题通过研究数列的单调性来解决数列最值、恒成立等问题在解决问题过程中，让学生体会到数列是个特殊的函数，与函数有共同之处又与函数有区别，感悟数学知识之间的内在联系与区别.例题：数列an的通项公式ann2n(nN*)，若数列an为递增数列，求实数的取值范围变式1已知数列an，ann2n3(其中为实常数)，且a3数列an的最小项，求实数的取值范围变式2已知数列bn满足bn2()n1n2，若数列bn是单调递减数列，求实数的取值范围串讲1已知Sn1，nN*，设f(n)S2n1Sn1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1
2、的自然数n，不等式f(n)恒成立串讲2在数列an中，已知a12，an13an2n1.(1)求证：数列ann为等比数列；(2)记bnan(1)n，且数列bn的前n项和为Tn，若T3为数列Tn中的最小项，求的取值范围(2018南京市、盐城市高三第一次模拟考试)设数列an满足an2an1an1(a2a1)2，其中n2，且nN，为常数(1)若an是等差数列，且公差d0，求的值；(2)若a11，a22，a34，且存在r3，7，使得mannr0对任意的nN*都成立，求m的最小值；(3)若0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得anTan对任意的nN*均成立求所有满足条件的数列an中T的最小值(20
3、18苏州市高三调研测试)已知各项是正数的数列an的前n项和为Sn.(1)若SnSn1(nN*，n2)，且a12.求数列an的通项公式；若Sn2n1对任意nN*恒成立，求实数的取值范围；(2)数列an是公比为q(q0，q1)的等比数列，且an的前n项积为10Tn.若存在正整数k，对任意nN*，使得为定值，求首项a1的值答案：(1)an3n1，；*(2).解析：(1)当n2时，由SnSn1，(*)，则Sn1Sn，(*)1分(*)(*)得an1an(an12an2)，即an1an3，n2，3分当n2时，由(*)知a1a2a1，即a223a2100，解得a25或a22(舍去)，所以a2a13，即数列a
4、n为等差数列，且首项a12，所以数列an的通项公式为an3n1.4分由知，an3n1，所以Sn，由题意可得对一切nN*恒成立，5分记cn，则cn1，n2，所以cncn1，n2.当n4时，cn0，q1)，a1a2an10Tn，两边取常用对数，Tnlga1lga2lgan.9分令bnlgannlgqlga1lgq，则数列bn是以lga1为首项，lgq为公差的等差数列，11分若为定值，令，则，即(k1)2k2lgqn(k1)klgq0对nN*恒成立，因为q0，q1，问题等价于将代入(k1)k0，解得0或1.13分因为kN*，所以0，1，所以a12q，又an0，故a1.14分微专题49例题答案：(3，
5、)解法1数列an为递增数列anan1(nN*)恒成立，即n2n2n1恒成立，即(2n1)max，因为2n1为单调递减数列，当n1时，取得最大值3，所以3，即实数的取值范围为(3，)解法2函数f(x)x2x的对称轴为x，考虑到数列自变量nN*，所以|1|3，即实数的取值范围为(3，)变式联想变式1答案：7，5解法1ana3对任意nN*恒成立，即(n3)(n3)(n3)当n4时，(n3)，所以7；当n2时，5；当n3时，R；综上所述，75，即实数的取值范围为7，5解法2函数f(x)x2x3的对称轴为x，考虑到数列自变量nN*：，所以75，即实数的取值范围为7，5变式2答案：.解析：由题意可知对任意
6、nN*，数列bn单调递减，所以bn1bn，即2()n(n1)22()n1n2，即6()n0，所以数列(2n1)2n单调递增，当n是奇数时，因为数列单调递减，所以当n1时，取得最大值1，所以1；当n是偶数时，因为数列单调递增，所以当n2时，取得最小值，所以.综上可知，10.所以f(n)在(2，)单调递增，从而f(n)minf(2)，从而2m0，ann0，故3，ann是以3为首项，公比为3的等比数列(2)由(1)知ann3n，bn3nn.Tn31323n(123n)(3n1).若T3为数列Tn中的最小项，则对nN*有(3n1)396恒成立即3n181(n2n12)对nN*恒成立.1当n1时，有T1
7、T3，得；2当n2时，有T2T3，得9；3当n4时，n2n12(n4)(n3)0恒成立，对n4恒成立令f(n)，则f(n1)f(n)0对n4恒成立f(n)在n4时为单调递增数列f(4)，即.综上，9，即实数的取值范围为.新题在线答案：(1)1；(2)；*(3)3.解析：(1)由题意，可得an2(and)(and)d2，化简得(1)d20，又d0，所以1.(2)将a11，a22，a34代入条件，可得414，解得0，所以an2an1an1，所以数列an是首项为1，公比q2的等比数列，所以an2n1.欲存在r3，7，使得m2n1nr，即rnm2n1对任意nN*都成立，则7nm2n1，所以m对任意nN
8、*都成立令bn，则bn1bn，所以当n8时，bn1bn；当n8时，b9b8；当nbn.所以bn的最大值为b9b8，所以m的最小值为.*(3)因为数列an不是常数列，所以T2.若T2，则an2an恒成立，从而a3a1，a4a2，所以，所以(a2a1)20，又0，所以a2a1，可得an是常数列矛盾所以T2不合题意若T3，取an(*)，满足an3an恒成立由a22a1a3(a2a1)2，得7.则条件式变为an2an1an17.由221(3)7，知a3k12a3k2a3k(a2a1)2；由(3)2217，知a3k2a3k1a3k1(a2a1)2；由12(3)27，知a3k12a3ka3k2(a2a1)2.所以，数列(*)适合题意所以T的最小值为3.9
