1、微专题48数列中常见的求和问题在近年全国各地的高考卷中，多次出现对数列中裂项求和问题的考查，如2018年天津卷18题一方面，这种类型的数列题有本身的规律可循，可以区分不同层次、不同数学思维能力的考生另一方面，解答这类题时，又要具备一定的运算能力甚至技巧，所以考查的频率也就较高.例题：(2018天津卷)设an是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(nN*)，bn是等差数列已知a11，a3a22，a4b3b5，a5b42b6.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列Sn的前n项和为Tn(nN*)，求Tn；证明2(nN*)变式1已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an1
2、an2(bn1bn)恒成立(1)若Ann2，b12，求Bn；(2)若对任意nN*，都有anBn及成立，求正实数b1的取值范围变式2设数列an，a11，an1.数列bn，bn3n1an.正数数列dn，dn21.(1)求证：数列bn为等差数列；(2)设数列bn，dn的前n项和分别为Bn，Dn，求数列bnDndnBnbndn的前n项和Sn.串讲1(2018扬州第一学期期末)已知各项都是正数的数列an的前n项和为Sn，且2Snan2an，数列bn满足bn，2bn1bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn，求：c1c2cn.串讲2正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2(n2n1)
3、Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn0，可得q2，故an2n1.设等差数列bn的公差为d，由a4b3b5，可得b13d4.由a5b42b6，可得3b113d16，从而b11，d1，故bnn.所以，数列an的通项公式为an2n1，数列bn的通项公式为bnn.(2)略变式联想变式1答案：(1)Bn；(2)(3，)解析：(1)因为An2n，所以当n2，anAnAn12n1，因为Ann2，所以an又a11符合an，所以an2n1.故bn1bn(an1an)1，所以数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列所以bn.(2
4、)依题意Bn1Bn2(bn1bn)，即bn12(bn1bn)，即2，所以数列bn是以b1为首项，2为公比的等比数列，所以anBnb1b1(2n1)，所以，即()，所以()，所以()3(1)，所以b13.说明：本题裂项的难点在于对式子如何适当地变形，以达到裂项求和的目的，所以想到将分子2n拆成(2n11)(2n1)后()，从而为求和创造了条件，突破这个难点后，问题迎刃而解变式2答案：(1)略；(2)Sn.解析：(1)由an1，得3nan13n1an1.又bn3n1an，所以bn1bn1.又b1a11，所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由(1)得bn1(n1)1n，Bn.因dn21
5、，故dn21112.由dn0，得dn11.于是，Dnn1又当n2时，bnDndnBnbndn(BnBn1)Dn(DnDn1)Bn(BnBn1)(DnDn1)BnDnBn1Dn1，所以Sn(BnDnBn1Dn1)(Bn1Dn1Bn2Dn2)(B2D2B1D1)B1D1BnDn.因为S1b1D1d1B1b1d1B1D1也适合上式，故对于任意的nN*，都有SnBnDn.所以SnBnDn(n1).串讲激活串讲1答案：(1)ann，bn；(2).解析：(1)当n1时，2S1a12a1a11，(舍去负值)2Sn12Sn2an1an12an1(an2an)(an1an)(an1an)an1an.又an10，
6、an0，an1an1.an是以an1，d1的等差数列ann.2bn1bn.n2时，.各式相乘得bn1b1b1，bn(n2，nN*)当n1时，b1符合bn.bn；(2)由cn，裂项得cn，所以c1c2cn.串讲2解析：(1)由Sn2(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn所以Tn11(1).新题在线答案：(1)an3n2，Snn2；(2)Tn.解析：(1)由题意可知，解得a11，d3，an3n2，Snn2；(2)bn()，Tnb1b2bn(1).
