1、第2课时离散型随机变量的方差(教师独具内容)课程标准：通过实例，理解离散型随机变量的方差教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量均值与方差的大小，从而解决实际问题.知识点一方差、标准差的定义(1)如果离散型随机变量X的分布列如下表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn因为X的均值为E(X)，所以D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnxiE(X)2pi能够刻画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差(2)离散型随机变量X的方差D(X)也可用DX表示一般地，称为离散型随机变量X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散
2、程度(或波动大小)知识点二两点分布与二项分布的方差XX服从参数为p的两点分布XB(n，p)D(X)p(1p)np(1p)知识点三方差的性质若X与Y都是离散型随机变量，且YaXb(a0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知D(Y)a2D(X)1随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散2求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量
3、X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定()(2)若a是常数，则D(a)0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度()答案(1)(2)(3)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p0.5，则E(X)和D(X)分别为_(2)设随机变量B，则D()_.(3)如果X是离散型随机变量，Y3X2，那么D(Y)_D(X)答案(1)0.5和0.25(2)(3)9题型
4、一 方差与标准差的计算例1已知随机变量X的分布列为X010205060P(1)求X的方差及标准差；(2)设Y2XE(X)，求D(Y)解(1)E(X)01020506016，D(X)(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384.8.(2)Y2XE(X)，D(Y)D(2XE(X)4D(X)43841536.点睛求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aXb的方差可用D(aXb)a2D(X)求解已知随机变量的分布列如下表：101P(1)求的均值、方差和标准差；(2)设23，求E()，D()解(1
5、)均值E()(1)01；方差D()120212；标准差.(2)E()2E()3；D()4D().题型二 两点分布与二项分布的方差例2(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差；(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差解(1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7D(X)p(1p)0.70.30.21.(2)设正面向上的次数为Y，则YB，D(Y)np(1p)5.(3)设抽到男同学的人数为.服从超几何分布，
6、分布列为0123P即0123PE()0123，D()02122232.点睛解决此类问题的第一步是判断随机变量服从什么分布，第二步代入相应的公式求解若服从两点分布，则D()p(1p)；若服从二项分布，即B(n，p)，则D()np(1p)(1)若随机变量X的分布列如下表所示：X01P0.40.6则E(X)_，D(X)_；(2)若随机变量XB(3，p)，D(X)，则p_.答案(1)0.60.24(2)或解析(1)E(X)00.410.60.6，D(X)0.6(10.6)0.60.40.24.(2)XB(3，p)，D(X)3p(1p)，由3p(1p)，得p或p.题型三 方差的实际应用例3有甲、乙两名同
7、学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X甲8090100概率0.20.60.2乙分数X乙8090100概率0.40.20.4试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些解在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)800.2900.61000.290，E(X乙) 800.4900.21000.490.方差分别为D(X甲) (80 90)20.2(90 90)20.6(10090)20.2 40，D(X乙)(8090)20.4(9090)20.2(100 90)20.480.由上面数据，可知E(X甲)E(X乙)，D(X甲
8、)E()，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D()D()，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势1已知随机变量X的分布列为X012P设Y2X3，则D(Y)()A. B. C. D.答案A解析E(X)0121，D(X)(01)2(11)2(21)2，D(Y)D(2X3)4D(X).2一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为()A. B. C. D.答案C解析由题意，次品件数X服从二项分布，即XB，故D(X)np(1p)4.3已知B(n，p)，且E(32)9.2，D(32)12.96，则二项分布的参数n，p的值
9、为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1答案B解析由E(32)3E()2，D(32)9D()及B(n，p)时，E()np，D()np(1p)可知所以故选B.4袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用 X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为_答案解析X的分布列为X135P则E(X)135，D(X).5一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.(1)求这位司机遇到红灯数的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待
10、时间的期望与方差解(1)易知司机遇上红灯次数服从二项分布，且B，E()62，D()6.(2)由已知30，E()30E()60，D()900D()1200.A级：“四基”巩固训练一、选择题1已知X的分布列为X101P则E(X)，D(X)，P(X0).其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案B解析E(X)(1)010，故不正确；D(X)(10)2(00)2(10)2，故不正确；P(X0)显然正确2从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1球，有放回地摸取5次，设摸得白球的个数为X，已知E(X)3，则D(X)()A. B. C. D.答案B解析由题意知XB，所以E(X)53，
11、解得m2，所以XB，故D(X)5.3设随机变量的分布列为P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，则D()的值为()A8 B12 C. D16答案A解析由题意可知B，nE()24.n36.又D()n368.4掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上的一面是3的次数的均值和方差分别是()A2和5 B2和 C4和 D.和1答案B解析由题意知出现向上的一面为3的次数符合二项分布，掷12次骰子相当于做12次独立重复试验，且每次试验出现向上的一面为3的概率是，E()122，D()12.故选B.5(多选)随机变量的分布列为012Pa其中ab0，下列说法正确的是()Aab1 BE()CD()随b的增大
12、而减小 DD()有最大值答案ABD解析a1，即ab1，a，b(0,1)，A正确；E()0a12，B正确；D()a021222b2，b(0,1)，可得b时，D()取得最大值D()随b的增大先增大后减小，C错误，D正确故选ABD.二、填空题6设XB(n，p)，且E(X)15，D(X)，则n，p的值分别为_和_答案60解析由题意，可知解得7两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数的方差D()_.答案解析的所有可能取值为0,1,2，P(0)，P(1)，P(2)，所以E()012，D()222.8设p为非负实数，随机变量X的分布列为X012Ppp则E(X)的最大值为_，D(X)的最大值为_
13、答案1解析E(X)01p2p1.又0p，0p.E(X)max.D(X)(p1)2p2p(p1)2p2p121，当p0时，D(X)max1.三、解答题9A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，A，B两台机床生产的产品中出现的次品数分别为1，2.1，2的分布列如下所示：10123P0.70.20.060.0420123P0.80.060.040.10问：哪一台机床加工质量较好？解E(1)00.710.220.0630.040.44，E(2)00.810.0620.0430.100.44，它们的均值相同，再比较它们的方差D(1)(00.44)20.7(10.44)20.2(20.44)20.06(30.44)20.040.6064，D(2)(00.44)20.8(10.44)20.06(20.44)20.04(30.44)20.100.9264.因为D(1)D(2)，所以两个保护区内每季度发生的违规事件平均次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散和波动因此乙保护区的管理水平较高
