1、第3讲 高考情境题的数学建模序篇近年来,高考数学试题紧密联系生活实际与“五育”结合,以考查学生基础知识和基本能力为主线,突出考察数学建模、数据分析、逻辑推理等核心素养.为适应高考命题的特点,二轮复习应强化学生高考情境题的数学建模能力.数学建模解决高考情境题的基本思路:考向1三角函数、三角形模型的情境问题例1(1)(2022江苏七市第二次调研)时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明,当气温上升到20 时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28 时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次.已知某景区一天内517时(取到5时和A.1.4 h
2、B.2.4 hC.3.2 hD.5.6 h(2)(2021全国乙理9)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=()答案(1)B(2)A即为t-16k-1.4或t-16k-4.6,kZ,由5t17,可得t14.6或t11.4,所以从开始开放到开始闭合约经历11.4-9=2.4(h).(方法二)如图,连接FD并延长交AB于点M,则FMAB,AB=AM+BM.设BDM=,B
3、FM=,则BHE=,FCG=,对点练1(1)(2022山西吕梁一模)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要20 min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度为H m,如图以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式为()(2)(2022江苏南京、盐城二模)某中学开展劳动实习,学生需测量某零件中圆弧
4、的半径.如图,将三个半径为20 cm的小球放在圆弧上,使它们与圆弧都相切,左、右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差h为8 cm,则圆弧的半径为cm.答案(1)B(2)120解析(1)设舱座距离地面最近的位置为P,当t=0时,游客甲位于点P(0,-55),以(2)如图所示,设点O,O1,O2分别是三个小球的球心,点M是圆弧所在圆的圆心,OM是十字尺竖直部分的中轴线,点A是OM与O1O2的交点,点B是十字尺竖直部分与圆O的切点,点C是OM与十字尺水平部分的下边沿的交点.由题意可知,BC=8,AB=12,AO=8,设圆弧的半径为r,考向2函数模型的情境问题例2(1)(2020山东
5、6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天 D.3.5天(2)(2022四川成都二模)在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)与燃料的质量M(单位:k
6、g),火箭的质量(除燃料外)m(单位:kg)的函数关系是v=2 000ln(1+),当燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为t0时,火箭的最大速度可达到v0 km/s.若要使火箭的最大速度达到2v0 km/s,则燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值应为()答案(1)B(2)D(2)设当燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为x时,火箭的最大速度可达到2v0 km/s,由题意可知v0=2 000ln(1+t0),2v0=2 000ln(1+x),4 000ln(1+t0)=2 000ln(1+x),对点练2(1)(2021全国甲理4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用
7、五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6(2)(2022北京西城期末)蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式为C=Int,其中n为常数,为了测算某蓄电池对应的常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流I=20 A时,放电时间t=20 h;当放电电流I=30 A时,放电时间t=10 h.则该蓄电池对应的常数n大约为()(参考数据:lg 20.30,lg 30
8、.48)答案(1)C(2)B考向3数列模型的情境问题例3(1)(2020全国理4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块(2)(2022山东潍坊一模)我国古人将一年分为24个节气,如图所示,相邻两个节气的日晷长变化量相同,冬至日晷长最长,夏至日晷长最短,周而复始.已知冬至日晷长为
9、13.5尺,芒种日晷长为2.5尺,则一年中夏至到大雪的日晷长的和为尺.答案(1)C(2)84解析(1)由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为an.设上层有n环,则上层扇面形石板总数为Sn,中层扇面形石板总数为S2n-Sn,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为an为等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以9n2=729,解得n=9.所以(2)依题意,冬至日晷长为13.5尺,记为a1=13.5,芒种日晷长为2.5尺,记为a12=2.5,因为相邻两个节
10、气的日晷长变化量相同,则从冬至日晷长到芒种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列an,nN*,n12,数列an的公差因为夏至与芒种相邻,且夏至日晷长最短,则夏至的日晷长为a12+d=1.5,又大雪与冬至相邻,且冬至日晷长最长,则大雪的日晷长为a1+d=12.5,显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列,首项为1.5尺,末项为12.5对点练3(1)(2022四川成都模拟预测)如图,在边长为2 的等边三角形ABC中,圆D1与ABC相切,圆D2与圆D1相切且与AB,AC相切,圆Dn+1与圆Dn相切且与AB,AC相切,依次得到D3,D4,Dn.当圆Dn的半径小于时,n(nN*)的最小值为()A.
11、5B.6C.7D.8(2)(2022广东广州期末)南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其每一个后一项与前一项的差并不相等,但是这些逐项所得的差构成等差数列.如数列1,3,6,10,从第二项开始,后一项与前一项的差组成新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.现有二阶等差数列an,其前7项分别为2,3,5,8,12,17,23,则该数列的第100项为()A.4 862B.4 962C.4 852D.4 952答案(1)A(2)D 解析(1)如图,设圆Dn,Dn-1与AC相切于点E,F,过点
12、Dn作FDn-1的垂线,垂足为故n的最小值为5,故选A.(2)数列an中,从第二项开始,后一项减前一项所得的差构成的数列为1,2,3,4,5,6,an-an-1=n-1(n2),a1=2,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+2+1+2考向4概率模型的情境问题例4(1)(2022河南郑州质检一)数学家阿基米德建立了这样的理论:“任何由直线与抛物线所围成的弓形,其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四.”如图,直线x=1与抛物线y2=2x交于A,B两点,A,B两点在y轴上的射影分别为点M,N,向矩形ABNM内任投一点,则该点落在阴影部分
13、的概率为()(2)(2022辽宁辽阳期末)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48B.0.49C.0.52D.0.51答案(1)A(2)D对点练4(1)算盘是中国传统的计算工具,是中国人在长期使用算筹的基础上发明的.如图是一把算盘的初始状态,中间的档是作定位用的,自右向左,分别是个位、十位、百位,上面一粒珠(简称上珠)代表5,下面一
14、粒珠(简称下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠,往上拨3粒下珠,得到的数为质数(除了1和本身没有其他的约数)的概率是()(2)(2022河南南乐检测)现有航天员甲、乙、丙三个人,进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务,工作时间不超过10分钟,如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务,10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人,每个人只派出一次.已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为 ,每个人能否完成任务相互独立,该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出,则试验任务成功的概率为()答案(1)B(2)D解析(1)由题意,
15、算盘所表示的数可能有:17,26,8,35,62,71,80,53,其中是质数的有:17,71,53,故所求事件的概率为.故选B.(2)设“试验任务成功”为事件M,“甲成功”为事件M1,“甲不成功乙成功”为事件M2,“甲、乙都不成功丙成功”为事件M3,事件M1,M2,M3两两互斥,考向5空间几何模型的情境问题例5(1)(2020全国理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()(2)(2022全国高三专题练习)九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中
16、的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥;鳖臑是四个面均为直角三角形的四面体.在如图所示的堑堵ABC-A1B1C1中,已知AB=BC=4,AC=4 ,若阳马C1-ABB1A1的侧棱C1A=8,则鳖臑C1-ABC中,点C到平面C1AB的距离为.解析(1)如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h,(2)由AB=BC=4,AC=4 ,得AB2+BC2=AC2,所以ABBC,故ABC是等腰直角三角形,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,且AC平面ABC,所以CC1AC,同理,CC1BC
17、.对点练5(1)(2020山东4)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40,则晷针与点A处的水平面所成的角为()A.20 B.40C.50 D.90(2)甲烷是一种有机化合物,分子式是CH4,它作为燃料广泛应用于民用和工业中,近年来科学家通过观测数据,证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加,深入研究甲烷,趋利避害,成为科学家面临的新课题.甲烷分子的结构为正
18、四面体结构,四个氢原子位于正四面体的四个顶点,碳原子位于正四面体的中心,碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同,键角相等,请你用学过的数学知识计算甲烷分子碳氢键之间夹角的余弦值为.解析(1)由题意知,如图,圆O为赤道所在的大圆.圆O1是在点A处与赤道所在平面平行的晷面.O1C为晷针所在的直线.直线OA在圆O所在平面的射影为直线OB,点B在圆O上,则AOB=40,COA=50.又CAO=90,OCA=40.晷针与点A处的水平面所成角为40,故选B.(2)如图,在正四面体ABCD中,点O为该正四面体的中心,连接DO并延长交平面ABC于点E,则点E为ABC的中心,连接AE并延长交BC于点F,则
19、点F为线段BC的中点,设正四面体ABCD的棱长为1,设AO=DO=x,考向6圆锥曲线(圆)模型的情境问题例6如图所示,这两个椭圆的中心都是坐标原点O,焦点都在x轴上,它们的离心率相同.若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-,则椭圆的离心率为()答案 B对点练6阿波罗尼斯(约公元前262公元前190年)在其著作圆锥曲线论中证明过这样一个命题:平面内与两个定点距离的比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆,称为阿波罗尼斯圆.已知定点A(-2,0),B(2,0),动点C满足|AC|=2|BC|,则动点C的轨迹为一个阿波罗尼斯圆,记此圆为圆P,已知点D在圆P上(点D在第一象限),AD交圆P于点E,连接EB并延长交圆P于点F,连接DF,当DFE=30时,直线AD的斜率为()答案 A DPE=2DFE=60,|PE|=|PD|,则DPE为等边三角形.
