1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时函数奇偶性的应用一、选择题1用列表法将函数f(x)表示为如图所示，则()x123f(x)101A.f(x2)为奇函数Bf(x2)为偶函数Cf(x2)为奇函数Df(x2)为偶函数【解析】选A.yf(x)向左平移2个单位得到yf(x2)，所以yf(x2)过的点是(1，1)，(0，0)，(1，1)，三个点关于原点对称，所以yf(x2)是奇函数；yf(x)向右平移2个单位得到yf(x2)，所以yf(x2)过的点是(3，1)，(4，0)，(5，1)，可知函数的三点既不关于原
2、点对称，也不关于y轴对称，所以yf(x2)既不是奇函数也不是偶函数2若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)等于()Ax2 B2x2 C2x22 Dx21【解析】选D.因为f(x)g(x)x23x1，所以f(x)g(x)x23x1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，所以f(x)g(x)x23x1.由联立，得f(x)x21.3已知二次函数f(x)x2bxc，且f(x2)是偶函数，若满足f(2a)f(4)，则实数a的取值范围是()A(2，2)B(，2)(2，)C由b的范围决定D由b，c的范围共同决定【解析】选B.因为f(x2)是偶函数，所以f(x
3、2)f(x2)，所以函数f(x)关于x2对称，所以2b4，所以f(x)x24xc，所以f(2a)f(4)(2a)24(2a)cca2或a1 Ba2Ca1或a2 D1a2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以3|2a1|，解得a1或a2.5若奇函数f(x)在x(，0)上的解析式为f(x)x(1x)，则f(x)在(0，)上有()A最大值 B最大值C最小值 D最小值【解析】选B.方法一(奇函数的图象特征)：当x0时，f(x)有最大值.方法二(直接法)：当x0时，x0，所以f(x)x(1x).又f(
4、x)f(x)，所以f(x)x(1x)x2x，所以f(x)有最大值.6(2021南宁高一检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且是增函数，若f(1)1，则不等式|f(x)|1的解集为()A(1，1) B(1，0)C(0，1) D(，1)(1，)【解析】选A.由|f(x)|1得1f(x)1，因为f(x)是奇函数且是增函数，f(1)1，所以f(1)f(1)1，则不等式等价为f(1)f(x)f(1)，所以1x1，即不等式的解集为(1，1).7(多选)若函数yf(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是()A3个交点的横坐标之和为0B3个交点的横坐标之和不是定值，
5、与函数解析式有关Cf(0)0Df(0)的值与函数解析式有关【解析】选AC.由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0，0)是函数与x轴的交点，则(x0，0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而AC正确二、填空题8函数f(x)在R上为偶函数，且x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)_【解析】因为f(x)为偶函数，x0时，f(x)1，所以当x0时，x0，f(x)f(x)1，即x0时，f(x)1.答案：19(2021青岛高一检测)已知定义在(，)的偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(1)，若f(2x1)，则x取值范围是_【解析】因为偶函数f(x)在0，)上单调递减，
6、f(1)，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(，0)上单调递增，且f(1)，由f(2x1)，可得12x11，解得0x1.答案：0，1三、解答题10已知函数f(x)xa2，aR为奇函数，求f(x).【解析】依题意得f(0)a20a0，故f(x)x.11已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数(3)解不等式：f(t1)f(t)0.【思路导引】(1)利用函数奇偶性的性质和f求出函数解析式(2)利用函数单调性的定义证明(3)利用奇偶性转化不等式，再利用单调性证明不等式，证明时注意函数的定义域【解析】(1)由题意得所
7、以故f(x).(2)设x1，x2是(1，1)上任意两个值且x1fBffCffDff【解析】选C.因为a22a(a1)2，又因为f(x)是偶函数，且在0，)上是减函数，所以fff.二、多选题4设yf(x)为偶函数，且在区间(，0)内单调递增，f(2)0，则下列区间中使得xf(x)0的有()A(1，1) B(0，2)C(2，0) D(2，4)【解析】选CD.根据题意，偶函数f(x)在(，0)上是增函数，又f(2)0，则函数f(x)在(0，)上是减函数，且f(2)f(2)0，函数f(x)的草图如图，又由xf(x)0或，由图可得2x0或x2，即不等式的解集为(2，0)(2，).三、填空题5如果函数F(
8、x)是奇函数，则f(x)_【解题指南】根据求谁设谁的原则，设x0，根据函数的奇偶性求出x0时的解析式【解析】当x0时，x0，F(x)2x3，又F(x)为奇函数，故F(x)F(x)，所以F(x)2x3，即f(x)2x3.答案：2x36设函数yf(x)是偶函数，它在0，1上的图象如图则它在1，0上的解析式为_【解析】由题意知f(x)在1，0上为一条线段，且过(1，1)，(0，2)，设f(x)kxb，代入解得k1，b2.所以f(x)x2.答案：f(x)x27(2021泰州高一检测)设yf(x)是定义在R上的函数，对任意的xR，恒有f(x)f(x)x2成立，g(x)f(x)，若yf(x)在(，0上单调
9、递增，且f(2a)f(a)22a，则实数a的取值范围是_【解析】由g(x)f(x)g(x)f(x)，g(x)g(x)0，故g(x)在R上为奇函数，由yf(x)在(，0上单调递增g(x)f(x)在(，0也单调递增，故g(x)在R上单调递增，f(2a)f(a)22af(2a)f(a)0，即g(2a)g(a)，2aa，解得a1.答案：a18已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(|x2|)f(x2)，则f(x2)5可化为f(|x2|)5，则|x2|24|x2|5，即(|x2|1)(|x2|5)0，所以|x2
10、|5，解得7x3，所以不等式f(x2)5的解集是(7，3).答案：(7，3)四、解答题9已知函数yf(x)是定义域为R的偶函数，且当x0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式(2)画出函数f(x)的图象(3)根据图象，写出函数f(x)的减区间及值域【解析】(1)因为函数f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)f(x).当x0时，x0，所以f(x)f(x)x22x.综上，f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示：(3)由(2)中图象可知，f(x)的减区间为1，0，1，)，函数f(x)的值域为(，1.10已知偶函数f(x)的定义域为E，值域为F.(1)求实数b的值；(2)若E
11、1，2，a，F，求实数a的值(3)若E，F23m，23n，求m，n的值【解析】(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)，即，所以b1；(2)因为f(2)，f(1)0，所以令f(a)0，即0，a1，a1不满足集合的互异性，故a1；令f(a)，即，a2，a2不满足集合的互异性，故a2，综上，a1或2；(3)因为f(x)是偶函数，且f(x)1，所以函数f(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数因为x0，所以由题意可知：0或0.若0，则有即此时方程组无负解；若0，则有即所以m，n为方程x23x10的两个根因为0，所以mn0，所以m，n. (60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共4
12、5分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1若函数f(x)在(3，0)上单调递减，g(x)f(x3)是偶函数，则下列结论正确的是()Afff(5)Bf(5)ffCf(5)ffDfff(5)【解析】选C.由g(x)f(x3)是偶函数，可知f(x)的图象关于x3对称，则f(5)f(1)，ff.又函数f(x)在(3，0)上单调递减，所以f(1)ff，即f(5)ff.2已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f(1)的x的取值范围是()A(1，0) B(0，1)C(1，2) D(1，1)【解析】选B.函数定义域是R，根据f(2x1)f(1)和偶函数f(x)在
13、区间0，)上单调递增，可得|2x1|1，解得0x0的解集是()A(0，1)B(1，0)(0，1)C(，1)(0，1)D(1，0)(1，)【解析】选A.当x0或或解得0x0.若f(2m6)f(n)0(m0，n0)，则mn的最大值为()A B9 C5 D6【解析】选A.由题意知f(x)是奇函数，且在R上单调递增又f(2m6)f(n)0，所以f(2m6)f(n)f(n)，所以2m6n，所以2mn6.所以2mn，即mn，当且仅当2mn时，等号成立所以mn的最大值为.6若定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1，13，) B3，10，1C1，
14、01，) D1，01，3【解析】选D.因为定义在R的奇函数f(x)在(，0)单调递减，且f(2)0，所以f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)0；当x0时不等式xf(x1)0成立，当x1时，不等式xf(x1)0成立，当x0时，不等式xf(x1)0等价为f(x1)0，此时，此时1x3；当x0时，不等式xf(x1)0等价为f(x1)0，此时，此时1xf(2)，则函数f(x)是R上的单调增函数B若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数C若f(0)0，则函数f(x)是奇函数D函数f(x)在区间(，0上是单调增函数，在区间(0，)上也是单调增函数，则f(x)是R上的单调增函数【解析】选ACD.A选
15、项，由f(2)f(2)，则f(x)在R上必定不是增函数；B正确；C选项，f(x)x2，满足f(0)0，但不是奇函数；D选项，该函数为分段函数，在x0处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误8(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x1)为偶函数，若f(1)2，则()Af(3)2 Bf(x2)f(x)Cf(5)2 Df(x4)f(x)【解析】选AD.因为f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x1)为偶函数，故可得f(x)f(x)，f(x1)f(x1)则f(x4)f(x2)f(x2)f(x)f(x)，故D选项正确；由上述推导可知f(x)f(x2)f(x2)，故B错误；又因为f(3)f(1)
16、f(1)2，故A选项正确又因为f(5)f(1)22，故C错误9(多选)某同学在研究函数f(x)时，下面几个结论正确的是()A等式f(x)f(x)0对xR恒成立B函数的值域为(1，1)C若x1x2，则一定f(x1)f(x2)D对任意的x1，1，若函数f(x)t22at恒成立，则当a1，1时，t2或t2【解析】选ABC.因为f(x)，定义域为R，且f(x)f(x)，故函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)0对xR恒成立，故A正确当x0时，f(x)，在(0，)为增函数且x0时，f(x)0，x时，f(x)1，因为f(x)为奇函数，f(0)0，所以函数的值域为(1，1)，故B正确因为函数f(x)为增
17、函数，所以x1x2，则一定f(x1)f(x2)，故C正确对于任意x1，1，f(x)为增函数，f(x)maxf(1).要使f(x)t22at恒成立，即t22at，即t22at0.设h(a)t22at，因为a1，1，则解得t2或t2或t0.故D错二、填空题(每小题5分，共15分)10.设奇函数f(x)的定义域为6，6，当x0，6时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)f(m22m2)，则a_；m的取值范围是_【解析】因为函数f(x)在定义域2a，3上是偶函数，所以2a30，解得a5，所以可得f(m21)f(m22m2)，又f(x)在0，3上单调递减，所以f(x)在3，0上单调递增，因为m210
18、，m22m2(m1)21f(m22m2)可得，解得1m.故m的取值范围是1m.答案：51m12已知定义在R上的函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在1，)上为单调减函数，则当x_时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)f(m)成立，则m的取值范围是_【解析】由f(1x)f(1x)知，f(x)的图象关于直线x1对称，又f(x)在(1，)上单调递减，则f(x)在(，1上单调递增，所以当x1时，f(x)取到最大值由对称性可知f(0)f(2)，所以f(0)f(m)，得0mx(12x)a恒成立，即(a2)x13a0在x1，3上恒成立，所以解得aa时，函数f(x)x2xa1a，因为a，故函数f(x)在a，)上单调递增，从而函数f(x)在a，)上的最小值为f(a)a21.综上可得，当a时，函数f(x)的最小值为a21.16已知yf(x)是奇函数，它在(0，)上是增函数，且f(x)0，试问F(x)在(，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论【解析】F(x)在(，0)上是减函数证明如下：任取x1，x2(，0)，且x1x20.因为yf(x)在(0，)上是增函数，且f(x)0，所以f(x2)f(x1)f(x1)0.于是F(x1)F(x2)0，即F(x1)F(x2)，所以F(x)在(，0)上是减函数关闭Word文档返回原板块
