1、 第2课时 基本不等式的应用 核心互动探究探究点一 利用基本不等式求最值【典例1】(1)若x54，则f(x)4x214x5 的最大值为_(2)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为_【思维导引】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式也要注意应用条件【解析】(1)因为x54，所以54x0，则f(x)4x214x5 54x154x32（54x）154x 3231.当且仅当54x154x，即x1时，等号成立故f(x)4x214x5 的最大值为1.答案：1(2)方法一：由x3y5xy可得 15y 35x 1，所以3x4y(3x4y
2、)15y 35x95 45 3x5y 12y5x 135 1255，当且仅当3x5y 12y5x，即x1，y12 时等号成立，所以3x4y的最小值是5.方法二：由x3y5xy，得x3y5y1，因为x0，y0，所以y 15，所以3x4y9y5y1 4y13y15 95454y5y154y13595 15y154y15135236255，当且仅当y12 时等号成立，所以3x4y的最小值是5.答案：5【类题通法】利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式
3、(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值易错警示：使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可提醒：1.利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；2尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致【定向训练】1已知a0，b0，ab2，则2a ab()A有最小值2 B有最大值2C有最小值3 D有最大值3【解析】选C.因为ab2，所以a2b，所以2a ab 2a 2bb2a 2b 112(ab)2a2b112 222ba 2ab112(44)13(当且仅当ab1时等号成立).2函数yx22x1(x1)的最小值为_【解析】yx22x1（x22x1）（
4、2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x1 22 3 2.当且仅当x1 3x1，即x 3 1时，等号成立答案：2 3 2【跟踪训练】已知 x，y 均为正实数，且 1x2 1y2 16，则 xy 的最小值为()A24 B32 C20 D28【解析】选 C.因为 x，y 均为正实数，且 1x2 1y2 16，则 xy(x2y2)461x2 1y2(x2y2)462x2y2y2x24622x2y2y2x2420，当且仅当 xy10 时取等号所以 xy 的最小值为 20.探究点二 利用基本不等式求参数的值、范围【典例2】(1)若两个正实数x，y满足2x 1y 1，并且x2ym22m恒成立，
5、则实数m的取值范围是()Am|m2或m4Bm|m4或m2Cm|2m4Dm|4m2(2)已知函数f(x)4xax(x0，a0)在x3时取得最小值，则a_【思维导引】(1)根据基本不等式求出x2y的最小值，从而得到关于m的不等式，进而求得m的取值范围(2)根据基本不等式取等号时的条件要求，求a的值【解析】(1)选D.x2y(x2y)2x1y24yx xy 28，当且仅当4yx xy，即4y2x2时等号成立由x2ym22m恒成立，可知m22m8，m22m80，解得4m0，a0，所以f(x)4xax 24xax 4 a，当且仅当4xax，即4x2a时f(x)取得最小值，又因为x3，所以a43236.答
6、案：36【类题通法】含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化(3)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxB.【定向训练】已知不等式(xy)1xay9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C6 D8【解析】选B.(xy)1xay1ayx axy 1a2 a(a 1)2(x，y，a
7、0)，当且仅当ya x时取等号，所以(xy)1xay的最小值为(a 1)2，于是(a 1)29恒成立所以a4.【跟踪训练】已知正数 x，y 满足 x2 2xy(xy)恒成立，则实数 的最小值为_.【解析】依题意得x22xy x(x2y)2(xy)，即x2 2xyxy2(当且仅当x2y时取等号)，即x2 2xyxy的最大值为2.又x2 2xyxy，因此有2，即的最小值为2.答案：2探究点三 基本不等式的实际应用【典例3】某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m0)满足x3km1(k为常数)，如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量
8、只能是一万件已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【思维导引】由已知得出函数解析式，用基本不等式求最值【解析】(1)由已知，当m0时，x1(万件)，所以13k，所以k2，所以x32m1.由已知，每件产品的销售价格为1.5816xx(元)，所以2019年的利润y1.5x816xx816xm16m1（m1）29(m0).(2)因为当m0时，
9、16m1(m1)2 16 8，所以y82921，当且仅当 16m1 m1，即m3(万元)时，ymax21(万元).所以该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元【类题通法】解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【定向训练】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，
10、仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元【解析】设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1k1x(k10)，y2k2x(k20)，因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，所以k15，k220，所以运费与仓储费之和为5x20 x万元，因为5x20 x25x20 x20，当且仅当5x20 x，即x2时，运费与仓储费之和最小，为20万元答案：2 20【跟踪训练】1.2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志长征
11、五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以 x 千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求 1x10)，每小时可消耗 A 材料 kx29 千克，已知每小时生产 1 千克该产品时，消耗 A 材料 10 千克(1)设生产 m 千克该产品，消耗 A 材料 y 千克，试把 y 表示为 x 的函数(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？【解析】(1)由题意，得k910，即k1，生产m千克该产品需要的时间是mx，所以ymx(kx29)mx9x(1x10).(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为
12、y1 000 x9x1 0002 9 6 000，当且仅当x9x，即x3时，等号成立，且1310.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克2.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|B1C1|x(x1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【解析】(1)设休
13、闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x4 000，得a20 10 x.则S(x)(a8)(ax20)a2x(8x20)a1604 000(8x20)20 10 x16080 10 2 x 5x4 160(x1).(2)80 10 2 x 5x4 16080 10 22 x 5x 4 1601 6004 1605 760，当且仅当2 x 5x，即x2.5时，等号成立，此时a40，ax100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米课堂素养达标1若mn0，1m 4n 3，则mn的最小值为()A2 B6 C3 D9【解析】选C.因为mn0，1m 4n 3，所以m，
14、n同正，则mn13(mn)1m4n13 14mn nm413 524mn nm3，当且仅当4mnnm，即m1n2时，等号成立，即mn的最小值为3.2已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_【解析】因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy13xy22，即(xy)24，解得2xy2.当且仅当xy1时等号成立，所以xy的最大值为2.答案：23若x3，则实数f(x)4x3 x的最大值为_【解析】因为x3，所以x30，所以f(x)4x3 x 4x3(x3)343x（3x）3243x（3x）31，当且仅当 43x 3x，即x1时取等号，所以f(x)的最大值为1.答案：14
15、某化工企业2019年年底将投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元).(1)用x表示y.(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备【解析】(1)由题意得y1000.5x（2462x）x，即yx100 x1.5(xN).(2)由基本不等式得：yx100 x1.52x100 x1.521.5，当且仅当x100 x，即x10时取等号故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备
