1、考点突破练3三角函数与解三角形1.(2022河北石家庄二模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,csinB+C2=asin C.(1)求角A的大小;(2)请在sin B=217;a+c=7两个条件中任选一个,求ABC的面积.2.(2022全国乙理17)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(2)若a=5,cos A=2531,求ABC的周长.3.(2021新高考,18)在ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.(1)若2sin C=3s
2、in A,求ABC的面积.(2)是否存在正整数a,使得ABC为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.4.(2022广东梅州一模)已知函数f(x)=2sin xcos x-3cos 2x(xR).(1)若f()=12且512,23,求cos 2的值;(2)记函数f(x)在4,2上的最大值为b,且函数f(x)在a,b(ab)上单调递增,求实数a的最小值.5.(2022辽宁沈阳二模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a-b=c(cos B-cos A).(1)判断ABC的形状并给出证明;(2)若ab,求sin A+sin B+sin C的取值范围.6.(2022山东聊
3、城一模)如图,在四边形ABCD中,BDAD,sin3-Acos6+A=14.(1)求A;(2)若AB=3,AD=3,CD=1,C=2CBD,求四边形ABCD的面积.考点突破练3三角函数与解三角形1.解 (1)由csinB+C2=asin C可得:sin CsinB+C2=sin Asin C,即sin Csin-A2=sin Asin C,即sin CcosA2=2sinA2cosA2sin C,因为0C,0A0,0A20,所以sinA2=12,即A2=6,A=3.(2)选:sin B=217,由正弦定理可得asinA=bsinB,即a32=2217,解得a=7,由余弦定理可得a2=b2+c2
4、-2bccos A,即7=4+c2-2c,解得c=3(负值舍),所以SABC=12bcsin A=122332=332.选:a+c=7,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即(7-c)2=4+c2-2c,解得c=154,所以SABC=12bcsin A=12215432=1538.2.(1)证明 sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),sin Csin Acos B-sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin Bsin Acos C,由正弦定理及余弦定理,得caa2+c2-b22ac-cbb2+c2-a22bc=bcb2+c2-a22b
5、c-baa2+b2-c22ab,化简整理,得2a2=b2+c2.(2)解 a=5,b2+c2=2a2=50.由余弦定理,得cos A=b2+c2-a22bc=252bc=2531,bc=312.b+c=b2+c2+2bc=9,a+b+c=14.故ABC的周长为14.3.解 (1)因为2sin C=3sin A,所以由正弦定理得2c=3a,解b=a+1,c=a+2,2c=3a,得a=4,b=5,c=6,在ABC中,由余弦定理得,cos C=a2+b2-c22ab=18,所以sin C=1-cos2C=378,所以SABC=12absin C=1245378=1574.(2)假设存在正整数a,使得
6、ABC为钝角三角形.因为b=a+1,c=a+2,所以可知cba,所以角C为钝角,则cos C=a2+b2-c22ab0,即a2+b2-c20,则a2+(a+1)2-(a+2)20,整理得a2-2a-30,即(a-3)(a+1)0,所以-1a3,又因为a为正整数,所以a=1或a=2.当a=1时,b=2,c=3,不能构成三角形,舍去;当a=2时,b=3,c=4,满足条件.故当a=2时,ABC为钝角三角形.4.解 (1)f(x)=sin 2x-3cos 2x=2sin2x-3,f()=12,sin2-3=14,512,23,2-32,cos2-3=-154,cos 2=cos2-3+3=-15412
7、-1432=-3+158.(2)当x4,2时,2x-36,23,f(x)1,2,b=2,由-2+2k2-32+2k,kZ,得-12+kx512+k,kZ,又函数f(x)在a,2(a2)上单调递增,a,2-12+2,512+2,-12+2a2,2312a2,实数a的最小值是2312.5.解 (1)ABC为等腰三角形或直角三角形,证明如下:由a-b=c(cos B-cos A)及正弦定理得,sin A-sin B=sin C(cos B-cos A),即sin(B+C)-sin(A+C)=sin C(cos B-cos A),即sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-co
8、s Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,所以cos C(sin B-sin A)=0,故sin A=sin B或cos C=0,又A,B,C为ABC的内角,所以a=b或C=2,因此ABC为等腰三角形或直角三角形.(2)由(1)及ab知ABC为直角三角形且不是等腰三角形,且A+B=2,C=2,故B=2-A,且A4,所以sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+1=sin A+cos A+1=2sinA+4+1,因为A0,44,2,故A+44,22,34,得sinA+422,1,所以2sinA+4+1(2
9、,2+1),因此sin A+sin B+sin C的取值范围为(2,2+1).6.解 (1)因为3-A+6+A=2,所以sin3-A=cos6+A,所以sin3-Acos6+A=14可化为sin23-A=14,由二倍角公式可得cos23-2A=12.因为BDAD,所以A0,2,所以23-2A-3,23,所以23-2A=3,解得A=6.(2)在ABD中,AB=3,AD=3,A=6,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,即BD2=3+9-23332=3,所以BD=3.在BCD中,由正弦定理得sinCsinCBD=BDCD=3,所以sin C=3sinCBD.又因为C=2CBD,所以cosCBD=32.又因为CBD(0,),所以CBD=6,从而C=2CBD=3,所以BDC=2.
