1、考点突破练7空间中的平行与垂直1.(2022浙江杭州模拟)已知底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,PAD是等边三角形,平面PAD平面ABCD,E,F分别是棱PC,AB上的点,从下面中选取两个作为条件,证明另一个成立:F是线段AB的中点;E是线段PC的中点;BE平面PFD.2.(2022全国甲文19)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.(1)证明:EF平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).3.(2022湖南长郡十五校联
2、考)如图,ABC是边长为2的等边三角形,E,F分别为AB,AC边的中点,将平面AEF沿EF折叠,M为线段EF的中点.(1)设平面PBE与平面PCF相交于直线l,求证:lBC;(2)平面AEF沿EF折叠过程中,当PMA=3时,求四棱锥P-BCFE的体积.4.(2022四川遂宁模拟)如图,平面五边形ABCDE中,B=BAD=E=CDE=90,CD=DE=EA=2,将ADE沿AD折叠,得四棱锥P-ABCD.(1)证明:PCAD;(2)若平面PAD平面ABCD,求点B到平面PCD的距离.考点突破练7空间中的平行与垂直1.证明 选,证明.取线段PD的中点M,连接ME,FM.因为F为线段AB的中点,E为线
3、段PC的中点,所以MECD,ME=12CD,FBCD,FB=12CD,则MEFB,ME=FB,所以四边形MEBF是平行四边形,则BEMF.因为BE平面PDF,MF平面PDF,所以BE平面PFD.选,证明.取线段PD的中点M,连接ME,FM.因为E为线段PC的中点,所以MECD,ME=12CD.因为FBCD,所以MEFB,即平面MEBF平面PDF=FM.因为BE平面PFD,所以BEMF,所以四边形MEBF是平行四边形,则BF=ME.因为ME=12CD=12AB,所以BF=12AB,即F是AB的中点.选,证明.取线段CD的中点N,连接BN,EN,所以DNFB,且DN=FB,即四边形BFDN是平行四
4、边形,则BNDF.因为BN平面PDF,DF平面PDF,所以BN平面PDF.因为BE平面PDF,BNBE=B,所以平面PDF平面BEN.又EN平面BNE,所以EN平面PDF.因为EN平面PDC,平面PDC平面PDF=DP,所以ENPD.因为N是线段CD的中点,所以E是线段PC的中点.2. (1)证明 过点E作EEAB于点E,过点F作FFBC于点F,连接EF.底面ABCD是边长为8的正方形,EAB,FBC均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直,EE平面ABCD,FF平面ABCD,且EE=FF,四边形EEFF是平行四边形,则EFEF.EF平面ABCD,EF平面ABCD,EF平面ABCD.
5、(2)解 过点G,H分别作GGCD,HHDA,交CD,DA于点G,H,连接FG,GH,HE,AC.由(1)及题意可知,G,H分别为CD,DA的中点,EFGH-EFGH为长方体,故该包装盒由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.底面ABCD是边长为8的正方形,AC=82+82=82(cm),EF=HE=12AC=42(cm),EE=AEsin 60=43(cm),该包装盒的容积为V=VEFGH-EFGH+4VA-EEHH=EFEHEE+413SEEHH14AC=424243+413424322=64033(cm3).3.(1)证明 如图,连接PA,PM,AM,ABC为等边三角形,M为EF的中点,
6、EFAM,EFPM.PMAM=M,EF平面PMA.E,F分别为AB,AC边的中点,EFBC,BC平面PMA.ABE,ACF,A平面PBE,A平面PCF,PA即为平面PBE与平面PCF的交线l,l平面PMA,BC平面PMA,lBC.(2)解 EF平面AEF,EF平面PMA,平面PMA平面AEF.点P到底面AEF的距离即为点P到AM的距离,设点P到AM的距离为h,PMA=3,h=PMsin3=3232=34,四棱锥P-BCFE的体积V=1312(1+2)3234=3316.4. (1)证明 取AD的中点O,连接PO,CO.因为DE=EA=2,即PA=PD=2,所以ADPO.因为APD=90,所以DO=12DA=12PA2+PD2=122=1.因为CDE=90,PDA=45,所以ADC=45.又CD=2,所以ADCO.因为POCO=O,PO平面POC,CO平面POC,所以AD平面POC.因为PC平面POC,所以ADPC.(2)解 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,POAD,所以PO平面ABCD.又CD=2,则AB=BC=1.则VP-BCD=13SBCDPO=1312BCABPO=16.因为PC=PO2+OC2=2,则PCD是正三角形,所以SPCD=34PC2=32.
