1、2016年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z=|i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A2iB2+iC4iD4+i2已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x2x）1则AB=（）A（2，3）B（2，3C（3，2）D3，2）3下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面区域内的是（）A（0，0）B（2，0）C（1，0）D（2，3）4已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A充分不必要条
2、件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件5设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A12m3BC4m3D8m36某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（）A2BC3D7已知是ABC的一个内角，且sin+cos=，则方程x2siny2cos=1表示（）A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆8已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0；Sn是数列an的前n项和，则（）AS5S6BS5S6CS6=0DS5=S69若函数f（x）=loga（x2ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，
3、1）（1，）C（1，）D，+）10直角坐标系xOy中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，若=2+， =3+k，则k的可能值个数是（）A1B2C3D411用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A9个B18个C12个D36个12在ABC中，若C=60，则=（）A1B2C3D4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知0A，且满足，则=14已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为15若P（2，1）为圆x2+y22x24=0的
4、弦AB的中点，则直线AB的方程16在（x+1）9的二项展开式中任取2项，pi表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量的数学期望E=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17数列an中，a1=4，前n项和Sn满足：Sn=an+1+n（）求an；（）令bn=，数列bn2的前n项和为Tn求证：nN*，Tn18在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=1，BAC=90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1=a（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小19东
5、莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望20如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出
6、直线l的方程；若不存在，请说明理由21设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB、FC（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FAFD；选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐
7、标分别为（2，0），（，）圆C的参数方程为，（为参数）（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与圆C的位置关系选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x1|（）试求f（x）的值域；（）设若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，试求实数a的取值范围2016年河南省高考数学冲刺试卷（理科）（2）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1复数z=|i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A2iB2+iC4iD4+i【考点】复数求模【分析】化简复数z，写出
8、z的共轭复数即可【解答】解：复数z=|i=i=2i，复数z的共轭复数为=2+i故选：D2已知集合A=x|x22x30，B=x|log2（x2x）1则AB=（）A（2，3）B（2，3C（3，2）D3，2）【考点】交集及其运算【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：（x3）（x+1）0，解得：1x3，即A=1，3，由log2（x2x）1，得到x2x20，即x1或x2，B=（，1）（2，+），由B中则AB=（2，3，故选：B3下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（xy+4）0表示的平面区域内的是（）A（0，0）B（2，0）C（1，0）D（2，
9、3）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】分别将点的坐标代入不等式，满足不等式即可【解答】解：A当x=0，y=0时，140不成立，B当x=2，y=0时，（2+1）（2+4）=20成立C当x=1，y=0时，（1+1）（1+4）=00不成立D当x=2，y=3时，（2+6+1）（23+4）=93=270不成立，故选：B4已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由一次函数的定义域为R可知函数y=f（x）的导函数是常数
10、函数，函数y=f（x）不一定是一次函数【解答】解：“函数y=f（x）是一次函数”“函数y=f（x）的导函数是常数函数”，反之取f（x）=2x，（x0），f（x）=2为常数函数，但是f（x）不是一次函数5设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A12m3BC4m3D8m3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，根据底面积乘高再乘，即可得到该几何体的体积【解答】解：根据三视图得三棱锥，底面为等腰三角形，高为：2底面积为：（3+1）3=6，体积： 62=4故选：C6某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（）A
11、2BC3D【考点】循环结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是根据条件循环计算并输出S的值【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S i循环前/2 1第一圈 是3 2第二圈 是 3第三圈 是 4第四圈 是 2 5第五圈 是3 6依此类推，S的值呈周期性变化：2，3，2，3，第2010圈 是 2011第2011圈 否故最终的输出结果为：，故答案为：7已知是ABC的一个内角，且sin+cos=，则方程x2siny2cos=1表示（）A焦点在x轴上的双曲线B焦点在y轴上的双曲线C焦点在x轴上的椭圆D焦点在y轴上的椭圆【考点】曲线与
12、方程【分析】首先利用三角关系的恒等式求出sincos0，进一步确定圆锥曲线的方程【解答】解：sin+cos=，sincos=，为三角形的一个内角，sin0，cos0，sincos0，0，方程x2siny2cos=1是焦点在y轴上的椭圆故选：D8已知等差数列an中，|a3|=|a9|，公差d0；Sn是数列an的前n项和，则（）AS5S6BS5S6CS6=0DS5=S6【考点】等差数列的性质【分析】先根据d0，|a3|=|a9|确定a30，a90，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=0，进而可推断a50，a70；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：d0，|a3|=|
13、a9|，a30，a90，且a3+a9=0，a6=0，a50，a70；S5=S6故选D9若函数f（x）=loga（x2ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A（0，1）B（0，1）（1，）C（1，）D，+）【考点】复合函数的单调性【分析】令u=x2ax+=+，则u有最小值，欲满足题意，须logau递增，且u的最小值0，由此可求a的范围【解答】解：令u=x2ax+=+，则u有最小值，欲使函数f（x）=loga（x2ax+）有最小值，则须有，解得1a即a的取值范围为（1，）故选C10直角坐标系xOy中，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量在直角三角形ABC中，若=2+， =3+k，则k的可能值个
14、数是（）A1B2C3D4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算【分析】由向量的运算可得，分三种情况A=90或B=90或C=90利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值【解答】解：若=2+， =3+k，=+（k1），ABC为直角三角形，（1）当A=90时， =6+k=0，解得k=6；（2）当B=90时， =2+k1=0，解得k=1；（3）当C=90时， =3+k（k1）=0，方程无实解；综上所述，k=6或1故选B11用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A9个B18个C12个D
15、36个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，所以有两个1时有32=6个，由理两个2或两个3式也是6个，由此能得到结果【解答】解：若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，则1在13位有两个，14和24为也是两个，所以有两个1时有32=6个，则两个2或两个3式也是6个，所以一共63=18个故选B12在ABC中，若C=60，则=（）A1B2C3D4【考点】余弦定理的应用【分析】先将所要求的式子通分，然后根据余弦定理找到a，b，c的关系式a2+b2=ab+c2，代入即可得到答案【解答】解： =（*），C=
16、60，a2+b2c2=2abcosC=ab，a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知0A，且满足，则=【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】先对所给的式子两边平方后求出，2sinAcosA的值再判断出A的具体范围，进而判断出sinAcosA的符号，再由sinAcosA与2sinAcosA的关系求出sinAcosA的值，再求出A的正弦值和余弦值，代入所求的式子进行求解【解答】解：将两边平方得，2sinAcosA=0，0A，sinAcosA0sinAcosA=，再由，解得，sinA=，cosA=，=故答案为：14已知球O的半径
17、为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为【考点】点、线、面间的距离计算【分析】根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥OABC，且OA=OB=OC=R=1，AOB=BOC=AOC=90，故AO面BOC所以此题可以根据体积法求得球心O到平面ABC的距离【解答】解：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥OABC，如图所示，已知OA=OB=OC=R=1，AOB=BOC=AOC=90，由此可得AO面BOC，由VABOC=VOABC，得故答案为：15若P（2，1）为圆x2+y22x24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程【考点】直线与圆相交的性质【分析】求
18、出圆的圆心和半径，由弦的性质可得CPAB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程【解答】解：圆x2+y22x24=0即（x1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆由于P（2，1）为圆x2+y22x24=0的弦AB的中点，故有CPAB，CP的斜率为 =1，故AB的斜率为1，由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x2，即 xy3=0，故答案为 xy3=016在（x+1）9的二项展开式中任取2项，pi表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量的数学期望E=【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】写出二项展开
19、式的系数，共有十项，写出组合数对应的数字，后面的问题转化为离散型随机变量的概率和期望问题，在求三个变量的概率时，应用古典概型的公式【解答】解：（x+1）9的二项展开式的系数分别是C90，C91，C92，C93，C94，C95，C96，C97，C98，C99，变化为数字分别是1，9，36，84，126，126，84，36，9，1P0=P1=，P2=E=1+2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17数列an中，a1=4，前n项和Sn满足：Sn=an+1+n（）求an；（）令bn=，数列bn2的前n项和为Tn求证：nN*，Tn【考点】数列的求和
20、；数列与不等式的综合【分析】（）根据Sn=an+1+n，利用an=SnSn1，能求出数列an的通项an（）由已知条件推导出b1=，bn=，（n2），从而得到当k2时，由此能够证明对于任意的nN*，都有Tn【解答】（）解：数列an中，a1=4，前n项和Sn满足：Sn=an+1+n，当n2时，an=SnSn1=an+1+nan（n1），an+1=2an1，an+11=2（an1），（n2），又a1=S1=a2+1，a1=4，解得a2=3，an1=（a21）2n2=2n1，an=2n1+1，n2，综上，数列an的通项an=（）证明：an=，bn=，=，bn=，n2，则当k2时，有=，当n2时，+（1
21、）+（）+（）=又n=1时， =，对于任意的nN*，都有Tn18在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=1，BAC=90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1=a（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】（1）将B1C1平移到BC，A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EFBC1于F，连接B1F，B1EA1B，A1C1B1E，得到B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在B1EF中解出此角即
22、可【解答】解：（1）BCB1C1，A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即A1BC=60，连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1CA1BC为等边三角形，由AB=AC=1，BAC=90，；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EFBC1于F，连接B1F，B1EA1B，A1C1B1EB1E平面A1BC1B1EBC1又EFBC1，所以BC1平面B1EF，即B1FBC1，所以B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角在B1EF中，B1EF=90，B1FE=60，因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为6019东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员
23、接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p，根据独立重复试验的概率公式写出
24、关于P的方程，解出P的值，得到结果（2）三辆汽车中被堵车辆的个数，由题意知可能的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的分布列，做出期望【解答】解：（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路堵车的概率为p，不堵车的概率为1p，得即3p=1，则即p的值为（2）由题意知可能的取值为0，1，2，3的分布列为：E=20如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在
25、，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的标准方程为，则c=1由，即（a+c）（ac）=1=a2c2，可得a2，b2=a2c2，即可得出（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），kPQ=1可设直线l的方程为y=x+m与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m22=0又F为PQM的垂心，可得MPFQ=0，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，则c=1又，即（a+c）（ac）=1=a2c2，a2=2，b2=1故椭圆的标准方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为PQM
26、的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（0，1），F（1，0），kPQ=1设直线l的方程为y=x+m由，得3x2+4mx+2m22=0又F为PQM的垂心，MPFQ又yi=xi+m（i=1，2），x1（x21）+（x2+m）（x1+m1）=0，即由根与系数的关系，得解得或m=1（舍去），经检验符合条件故存在直线l，使点F恰为PQM的垂心，且直线l的方程为21设f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切（I）求a，b的值；（II）证明：当0x2时，f（x）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
27、【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）x，可得ln（x+1）x，从而当x0时，f（x），记h（x）=（x+6）f（x）9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）0，故问题得证【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），f（0）=0，b=1曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切y|x=0=a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x0时，令k（x）=ln（x+1）x，
28、则k（0）=0，k（x）=，k（x）0ln（x+1）x，由得，当x0时，f（x）记h（x）=（x+6）f（x）9x，则当0x2时，h（x）=f（x）+（x+6）f（x）9=h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，h（x）0当0x2时，f（x）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB、FC（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FAFD；【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的性质【分析】（I）根据角平分线得到
29、两个角相等，根据圆内接四边形得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，得到两个角相等，根据同弧所对的圆周角相等和对顶角相等，根据等量代换得到FBC=FCB，三角形是一个等腰三角形，得到两边相等（II）根据两个三角形对应角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，不比例式化成乘积式，得到结果【解答】解：（）AD平分EAC，EAD=DAC四边形AFBC内接于圆，DAC=FBCEAD=FAB=FCB，FBC=FCB，FB=FC（）FAB=FCB=FBC，AFB=BFD，FBAFDB，FB2=FAFD选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正
30、半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）圆C的参数方程为，（为参数）（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）判断直线l与圆C的位置关系【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程【分析】（）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系【解答】解：（）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（）圆C的参数方程（为参数）它
31、的直角坐标方程为：（x2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y2=0，圆心到直线的距离为： =2，所以，直线l与圆C相离选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x1|（）试求f（x）的值域；（）设若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，试求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数的值域【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）minf（x）max【解答】解：（）函数可化为，f（x）3，3（）若x0，则，即当ax2=3时，又由（）知f（x）max=3若对s（0，+），t（，+），恒有g（s）f（t）成立，即g（x）minf（x）max，a3，即a的取值范围是3，+）2016年10月13日
