1、课后素养落实(十五)椭圆的标准方程及性质的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1若直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()A(，0)(1，) B(1，3)(3，) C(，3)(3，0) D(1，3)B由消去y，整理得(3m)x24mxm0若直线与椭圆有两个公共点，则解得由1表示椭圆，知m0且m3综上可知，m1且m3，故选B2过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A B C DB易求得直线AB的方程为y(x)由消去y并整理，得7x212x80设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2由弦长公式，得|AB|x1x2|3在椭圆1内，过点M(1，1
2、)且被该点平分的弦所在的直线方程为()A9x16y70 B16x9y250C9x16y250 D16x9y70C设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有1，1，两式相减，又x1x2y1y22，因此0，即，所求直线的斜率是，弦所在的直线方程是y1(x1)，即9x16y250，故选C4设F1，F2是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为()A B C DC如图所示，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有|F1F2|PF2|，PF1F2F2PF130所以PF2A60，F2PA30，所以|PF2|2|AF2|23a
3、2c又因为|F1F2|2c，所以，2c3a2c，所以e5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1 B1C1 D1D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k，两式相减得0，即00，即a22b2，c29，a2b2c2，解得：a218，b29，方程是1，故选D二、填空题6过椭圆1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_由已知可得直线方程为y2x2，联立方程得解得A(0，2)，B，SAOB|OF|yAyB|7设F1、F2分别为椭圆C：1的左、右两个焦点，过
4、F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|BF2|_由1知，焦点F1(1，0)，所以直线l：yx1，代入1得3x24(x1)212，即7x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x2，故|AB|x1x2|由定义有，|AF2|BF2|AB|4a，所以|AF2|BF2|428椭圆C：y21的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是1，2，那么直线PA2斜率的取值范围是_由椭圆C：y21的方程可得a22，b21，A1(，0)，A2(，0)，设P(x，y)，kPA1kPA2，kPA11，2，则kPA2三、解答题9设直线yxb与椭圆y21相交于
5、A，B两个不同的点(1)求实数b的取值范围；(2)当b1时，求|AB|解(1)将yxb代入y21，消去y并整理，得3x24bx2b220因为直线yxb与椭圆y21相交于A，B两个不同的点，所以16b212(2b22)248b20，解得b所以b的取值范围为(，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b1时，方程为3x24x0解得x10，x2所以y11，y2所以|AB|10已知椭圆C：1(ab0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求实数k的值解(1)由题意得解得c，b，所以椭圆C的方程为1(2)由
6、得(12k2)x24k2x2k240，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|，又因为点A(2，0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为S|MN|d，由，化简得7k42k250，解得k111(多选题)设椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y21外B必在圆x2y2上C必在圆x2y22内D必在圆x2y2上ABCec，e2baax2bxc0ax2ax0x2x0，x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x
7、1x2112，点P在圆x2y21外，在x2y2上，在x2y22内，故应选ABC12已知椭圆C的方程为1(ab0)，焦距为2c，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|2c，则椭圆C的离心率为()A B C DA设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则yx，由|AB|2c，可知|OA|c，即c，解得xc，所以A，把点A代入椭圆方程得到1，整理得8e418e290，即(4e23)(2e23)0，因0e1，所以可得e13已知椭圆1(ab0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e，则椭圆方程为_，若直线l交椭圆于M，N两点，且BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为_16x5y28
8、0由题意得b4，又e21，解得a220椭圆的方程为1椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知2，从而(2，4)2(x02，y0)，解得x03，y02，所以点Q的坐标为(3，2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x26，y1y24，且1，1，以上两式相减得0，kMN，故直线的方程为y2(x3)，即6x5y28014已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_，点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即又e0，0e15设椭圆1(ab0)的右顶点为A，下顶点
9、为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为(1)求椭圆的方程；(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若BMN60，求点M的坐标解(1)依题意知A(a，0)，B(0，b)，AOB为直角三角形，过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，即a，b1，椭圆的方程为y21(2)由(1)知B(0，1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，设直线BN的方程为ykx1(k0)，则直线BM的方程为yx1，由消去y得(13k2)x26kx0，解得：xN，yNkxN1，|BN|xN|，在yx1中，令y0得xk，即M(k，0)，|BM|，在RtMBN中，BMN60，|BN|BM|，即，整理得3k22|k|10，解得|k|，k0，k，点M的坐标为
