1、55三角函数模型的简单应用新课程标准解读核心素养1.会用三角函数解决简单的实际问题数学建模、数学运算2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型数学建模、数学运算如图是交变电流产生的示意图线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略)，当线圈处于如图所示的位置时，线圈中的感应电流y达到最大值A；当线圈由此位置逆时针旋转90后到达与此平面垂直的位置时，线圈中的感应电流y为0；当线圈继续逆时针旋转90后再次到达水平位置时，线圈中的感应电流y达到反向最大值A；当线圈继续逆时针旋转90后再次到达垂直位置时，线圈中的感应电流y又一次为0；当线圈继续逆时针旋转90后再次
2、到达图示位置时，线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始，形成周期变化问题(1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画？(2)以如图位置开始计时，则模型的初相是多少？知识点利用三角函数模型解决实际问题的思路1现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？提示：三角函数模型2三角函数模型的应用主要体现在哪两个方面？提示：已知函数模型求解数学问题；把实际问题转化成数学问题，抽象出有关的数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题1某人的血压满足函数式f(t)24sin 160t110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为_答案：802电流I(A)随时间t(s)变化的关
3、系式是I5sin，则当t时，电流为_A.答案：三角函数在物理中的应用例1(链接教科书第194页例1)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是IAsin(t).(1)若IAsin(t)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出IAsin(t)的解析式；(2)为了使IAsin(t)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数的最小值是多少？解(1)由题图，可知A300.T，100，I300sin(100t)将代入解析式，得2k，kZ，2k，kZ.|0，0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t150(天)时达到最低油价，则的最小值为_解析：因为国际油价在某一时间
4、内呈现出正弦波动规律：PAsin60，最高油价80美元，所以A20.当t150(天)时达到最低油价，即sin1，此时1502k，kZ，因为0，所以令k1，得1502，解得.故的最小值为.答案：2某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长98米，匀速旋转一圈需要18分钟如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，求当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？解：如图，建立平面直角坐标系设某人登上摩天轮t分钟时距地面y米，此时该人随摩天轮转过的角为，则tt.ycost49cost59(t0)令49cost59，得cost，t2k(kZ)，故t18k3，kZ，由t0得t3，15，21，33，.故当此
5、人第四次距离地面米时用了33分钟三角函数模型的拟合例3(链接教科书第197页习题5题)某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0t24，单位：小时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：t/时03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(1)从yatb，yAsin(t)b，yAcos(t)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间解(1)由数据知选择yAsin(t)b较合适令A0，0，|.可知A，
6、b1，T12，所以.把t0，y1代入ysin1，得0.故所求拟合模型的解析式为ysin t1(0t24)(2)由ysin t10.8，得sin t，则2kt2k(kZ)，即12k1t12k7(kZ)，注意到t0，24，所以0t7或11t19或23t24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题 跟踪训练下表是某地某年月平均气温(华氏)：月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.071.964.753.539
7、.827.7以月份为x轴(x月份1)，以平均气温为y轴(1)用正弦曲线去拟合这些数据；(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A；(3)下面三个函数模型中，哪一个最适合这些数据？cos；cos；cos.解：(1)如图：(2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0，故716，所以T12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A73.021.451.6，所以A25.8.(3)因为模型的周期为12，所以由(2)知错误；由模型知当x0时，y取最大值，而x月份1，即1月份的气温最高，这与(2)中的结论矛盾，所以应选.1.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(
8、x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t0)开始沿顺时针方向走动，同点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()Aysin BysinCysin Dysin解析：选C秒针是顺时针旋转，角速度0，0)，则从表中数据可以得到A4，又由4sin 4.0，得sin 1，取，故y4sin，即y4cos t.答案：y4cos t3已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y10sin20，x4，16(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 到25 之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)x4，16，则x.由函数解析式易知，当x，即x14时，函数取得最大值，最大值为30，即最高温度为30 ；当x，即x6时，函数取得最小值，最小值为10，即最低温度为10 ，所以最大温差为301020()(2)令10sin2015，可得sin，而x4，16，所以x.令10sin2025，可得sin，而x4，16，所以x.故该细菌在这段时间内能存活(小时)
