1、11.2子集和补集新课程标准解读核心素养1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集数学抽象、逻辑推理2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集数学抽象、数学运算3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用数学抽象、直观想象一望无际的草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)集合A与集合B存在什么关系？(2)如何用数学语言来表示这两个集合之间的关系？知识点一子集1韦恩图(Venn图)用平面上封闭曲线的内部表示集合如图，这类表示两集合间关系的示意图叫作韦恩图(即Ve
2、nn图)2子集3两个集合相等4真子集定义：如果AB但AB，就说A是B的真子集集合间关系的性质(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；(2)任何一个集合都是它本身的子集，即AA；(3)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC；若AB，BC，则AC. 1符号“”与“”有什么区别？提示：“”是表示元素与集合之间的关系，比如1N，1N.“”是表示集合与集合之间的关系，比如NR，1，2，33，2，1“”的左边是元素，右边是集合，而“”的两边均为集合2与0，0，有何区别？提示：与0与0与相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点是集合；0是实数不含任何元素；0含一个元素0不含任何元素；含一个元素，该
3、元素是关系001已知集合P1，0，1，2，Q1，0，1，则()APQBPQCQP DQP解析：选C集合Q中的元素都在集合P中，所以QP.2已知集合Ax|1x2，Bx|0x1，则()ABA BABCBA DAB解析：选A由题意结合集合在数轴上的表示确定两集合的关系即可如图所示，由图可知，BA.3设aR，若集合2，91a，9，则a_解析：因为2，91a，9，则21a，所以a1.答案：1知识点二补集1全集：如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的元素和子集，就可以约定集合U叫作全集(或基本集)2补集定义若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集，叫作A的补集，记作UA符号语言UAx|xU
4、，且xA图形语言注意BBT(x|xB，且xA1补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围2补集的性质(1)若AU，则UAU；U(UA)A；(UU)；UU.(2)已知AU，BU，相关结论如下：若AB，则UAUB；若UAUB，则AB.特别地，若AB，则UAUB；反之，若UAUB，则AB. 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)数集问题的全集一定是R.()(2)集合BC与AC相等()(3)一个集合的补集中一定含有元素()答案：(1)(2)(3)2设全集U1，2，3，4，5，6，M1，3，5，则UM_解析：因为全集U
5、1，2，3，4，5，6，M1，3，5，所以UM2，4，6答案：2，4，63若全集Ux|2x2，则集合Ax|2x0的补集UA_解析：借助数轴易得UAx|0x2答案：x|0x24已知全集U0，1，2，且UA2，则A_解析：U0，1，2，UA2，A0，1答案：0，1集合间关系的判断例1指出下列各对集合之间的关系：(1)A1，1，B(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)；(2)Ax|1x4，Bx|x50；(3)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(4)Mx|x2n1，nN，Nx|x2n1，nN；(5)Ax|x2a3b，aZ，bZ，Bx|x4m3n，mZ，nZ解(1)集合A的代表元素是数
6、，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系(2)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于nN，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.(5)Ax|x2a3b，aZ，bZ，因为任意nZ，n2(n)3nA，所以Ax|x2a3b，aZ，bZZ，因为任意nZ，n4n3nB，所以Bx|x4m3n，mZ，nZZ，所以ABZ.判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系；(
7、2)集合元素特征法：先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系一般地，设Ax|p(x)，Bx|q(x)，若由p(x)可推出q(x)，则AB；若由q(x)可推出p(x)，则BA；若p(x)，q(x)可互相推出，则AB；若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系；(3)数形结合法：利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系，其中不等式的解集之间的关系，适合用数轴法 跟踪训练1(多选)下列关系中，正确的有()A00B0C0，1(0，1) D(1，2)(2，1)解析：选AB对于A，集合0中含有1个元素0，所以0
8、0正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以0正确；对于C，0，1是数集，(0，1)是点集，所以C错误；对于D，(1，2)与(2，1)是不同的点集，所以D错误2能正确表示集合Mx|0x2和集合Nx|x2x0关系的Venn图是()解析：选B解x2x0得x1或x0，故N0，1，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示3已知集合Ax|x23x20，B1，2，Cx|x8，xN，用适当的符号填空：(1)A_B；(2)A_C；(3)2_C；(4)2_C.解析：集合A为方程x23x20的解集，即A1，2，而Cx|x8，xN0，1，2，3，4，5，6，7故(1)AB；(2)AC；(3)2C；(4)2C
9、.答案：(1)(2)(3)(4)确定有限集合的子集、真子集及其个数例2(链接教科书第7页例6)(1)集合M1，2，3的真子集个数是()A6 B7C8 D9(2)满足1，2M1，2，3，4，5的集合M有_个解析(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个，1个或2个，含有0个元素的真子集为，含有1个元素的真子集有3个1，2，3，含有2个元素的真子集有1，2，1，3和2，3，共有7个真子集，故选B.(2)由题意可得1，2M1，2，3，4，5，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：1，2，3，1，2，4，1，2，5；含有
10、四个元素：1，2，3，4，1，2，3，5，1，2，4，5；含有五个元素：1，2，3，4，5故满足题意的集合M共有7个答案(1)B(2)7求集合子集、真子集个数的3个步骤 跟踪训练已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集及真子集解：A(x，y)|xy2，x，yN，A(0，2)，(1，1)，(2，0)，A的子集有，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0)A的真子集有，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0).补集的
11、求法例3(链接教科书第7页例7)(1)设全集U1，2，3，4，5，6，M1，2，4，则UM()AUB1，3，5C3，5，6 D2，4，6(2)已知全集UR，集合Ax|x2或x2，则UA_解析(1)因为U1，2，3，4，5，6，M1，2，4，由补集的定义，可知UM3，5，6(2)如图，在数轴上表示出集合A，可知UAx|2x2答案(1)C(2)x|2x2求集合补集的2种方法(1)当集合用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；(2)当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解 跟踪训练若集合Ax|1x1，当S分别取下列集合时，求SA.(1)SR；(2)Sx|x2；(3)Sx
12、|4x1解：(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示由图知SAx|x1或x1(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示由图知SAx|x1或1x2(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示由图知SAx|4x1或x1由集合间的关系求参数值(范围)例4已知集合Ax|3x4，Bx|1x1)，且BA，则实数m的取值范围是_解析由于BA，结合数轴分析可知，m4，又m1，所以1m4.答案(1，4母题探究1(变条件)本例若将“Bx|1x1)”改为“Bx|1x1，则由例题解析可知1m4.综上可知实数m的取值范围是(，42(变条件)本例若将“Bx|1x1)”改为“Bx|2m1xm1”，其他条件不变，则实数m的取值范围
13、是什么？解：因为BA，当B时，m12m1，解得m2.当B时，有解得1m2.综上得实数m的取值范围为1，)3(变条件)本例若将集合A，B分别改为A1，3，2m1，B3，m2，其他条件不变，则实数m的值又是什么？解：因为BA，所以m22m1，即(m1)20，所以m1，当m1时，A1，3，1，B3，1满足BA.所以m的值为1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合间包含关系的意义，建立方程(组)求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点注意(1)不能忽视集合为的情形；(2)当集合中含有字母参数时，一般要分
14、类讨论 跟踪训练1设全集U2，3，a22a3，A|2a1|，2，UA5，则实数a的值为_解析：UA5，5U，且5A.a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a1|35，此时A3，2，U2，3，5，符合题意当a4时，|2a1|9，此时A9，2，U2，3，5，不满足条件UA5，故a4舍去综上知a2.答案：22设全集UR，Ax|axb，若UAx|x4，则ab_解析：UR，Ax|axb，UAx|xb又UAx|x4，a3，b4，ab7.答案：7子集个数的探究观察下表并回答后面的问题.集合B集合A关系所有子集集合C的个数aa，bBCAa，a，b2aa，b，cBCAa，a，b，a，c，a，b，c4aa，
15、b，c，dBCAa，a，b，a，c，a，d，a，b，c，a，b，d，a，c，d，a，b，c，d8问题探究1若集合A有n个元素，则集合A有多少个子集？多少个真子集？多少个非空真子集？提示：若集合A含有n个元素，则集合A有2n个子集；其真子集要去掉集合A本身，故有2n1个；非空真子集要去掉集合A本身与空集，故有2n2个2对于有限集A，B，C，设集合A中含有n个元素，集合B中有m个元素(n，mN，且nm)(1)当BCA时，满足条件的C有多少个？(2)如果集合C分别满足如下条件：BCA，BCA，BCA，那么C的个数为多少？提示：(1)由表格中的集合可知，若BCA，则集合C中一定有集合B的全部元素，也就
16、是A中元素去掉B中元素后剩余元素构成的集合的子集，故有2nm个(2)当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与A集合相等的集合，故满足条件的C有2nm1个当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与B集合相等的集合，故满足条件的C有2nm1个当BCA时，在问题(1)的基础上，去掉与A，B相等的两个集合，故有2nm2个迁移应用如果2，3A，则满足条件的集合A是什么？共有多少个？解：xN，验证可知1，2，3，4，2，3A1，2，3，4，A可能为1，2，3，2，3，4，1，2，3，4，共有3个1已知集合Ax|x3k，kZ，Bx|x6k，kZ，则A与B之间最适合的关系是()AABBABCAB DAB解析：选D集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.2设集合A1，3，a，B1，12a，且BA，则a的值为_解析：由题意得12a3或12aa，解得a1或a.当a1时，A1，3，1，B1，3，符合条件当a时，A，B，符合条件所以a的值为1或.答案：1或3设全集U0，1，2，3，Ax|x2mx0，xU，若UA1，2，则实数m_解析：UA1，2，A0，3，0，3是方程x2mx0的两个根，m3.答案：3
