1、2003-2004海淀区高三第一学期期末统考数学试卷20041一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则（）Asin0且cos0 Bsin0且cos0Csin0 Dsin0且cos0且a1）（文科学生做）解不等式：17（本小题满分16分）在正方体中，棱长。（）E为棱的中点，求证：；（理科学生做）求二面角C-AE-B的平面角的正切值；（文科学生做）求二面角E-AB-C的平面角的正切值；（III）求点到平面EAB的距离。18（本小题满分12分）有一组数据：，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；
2、若去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11。（）求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式。（）若都是正整数，试求第n个数的最大值，并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据。19（本小题满分16分）在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。（）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；（）（理科学生做）过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点，线段MN的中点R与点S（-1，0）的连线的纵截距为t，试求t 的取值范围。（文科学生做）过点B且倾斜角为120的直线l与曲线T相交于M、N两点，试求AMN的
3、面积。20（本小题满分12分）已知定义域为0，1的函数f(x)同时满足：（1）对于任意x0，1，总有f(x)0；（2）f(1)=1（3）若，则有（）试求f(0)的值；（）试求函数f(x)的最大值；（）（理科学生做，文科学生不做）试证明：满足上述条件的函数f(x)对一切实数x，都有f(x)2x高三数学第一学期期末练习参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共40分）1C 2B 3D 4理A 文B 5C 6A 7理A 文B 8D二、填空题（每小题5分，其中第一空3分，第二空2分，共30分）。9；105；611理：； 文：；122；-1x1时，原不等式为上述不等式或5分解得：1x7或-2x1即-2
4、x77分（）当0a712分综合（）（）可得当a1时，原不等式的解集为x|-2x7当0a7。（文科）解：原不等式可以化成2分即4分上述不等式或8分解得：1x7或-2x112分即原不等式的解集为x|-2x|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，椭圆方程为6分（）（理科）当直线l与x轴垂直时，MN的中点为R（2，0）直线RS的纵截距t=07分当直线l与x轴不垂直时，设其斜率为k，点、。由，消去y整理得：9分，则直线RS的方程为。令x=0，可得直线RS的纵截距。如果k=0，则t=0；如果k0，则。当且仅当时，等号成立。14分或综上可知，
5、所求t的取值范围是。16分（文科）直线l的斜率，又l过B（2，0）点，其方程为由，消去y整理得：9分设点、，则，12分点A（-2，0）到直线l的距离为d，则14分AMN的面积为16分（注：本题也可以用求解，参照以上评分标准给分）20（本题满分12分）（）令，依条件（3）可得f(0+0) f(0)+f(0)，即f(0) 0。又由条件（1）得f(0) 0，则f(0)=0理：3分，文：5分（）任取，可知则理：5分。文：8分即，故于是当0x1时，有f(x)f(1)=1因此，当x=1时，f(x)有最大值为1，理：7分。文：12分（）（理科）证明：研究当时，f(x) 12x当时，首先，f(2x) f(x)+f(x)=2f(x)，9分显然，当时，成立。假设当时，有成立，其中k1，2，那么当时，可知对于，总有，其中n=1，2，而对于任意，存在正整数n，使得，此时11分当x=0时，f(0)=02x12分综上可知，满足条件的函数f(x)，对x0，1，总有f(x) 2x成立。（囿于篇幅，若有其它正确解法请按相应步骤给分。）
