1、2003-2004海淀区高三第一学期期末统考数学试卷20041一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若,则()Asin0且cos0 Bsin0且cos0Csin0 Dsin0且cos0且a1)(文科学生做)解不等式:17(本小题满分16分)在正方体中,棱长。()E为棱的中点,求证:;(理科学生做)求二面角C-AE-B的平面角的正切值;(文科学生做)求二面角E-AB-C的平面角的正切值;(III)求点到平面EAB的距离。18(本小题满分12分)有一组数据:,它们的算术平均值为10,若去掉其中最大的一个,余下数据的算术平均值为9;
2、若去掉其中最小的一个,余下数据的算术平均值为11。()求出第一个数关于n的表达式及第n个数关于n的表达式。()若都是正整数,试求第n个数的最大值,并举出满足题目要求且取到最大值的一组数据。19(本小题满分16分)在直角坐标平面内,已知两点A(-2,0)及B(2,0),动点Q到点A的距离为6,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。()证明|PA|+|PB|为常数,并写出点P的轨迹T的方程;()(理科学生做)过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点,线段MN的中点R与点S(-1,0)的连线的纵截距为t,试求t 的取值范围。(文科学生做)过点B且倾斜角为120的直线l与曲线T相交于M、N两点,试求AMN的
3、面积。20(本小题满分12分)已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足:(1)对于任意x0,1,总有f(x)0;(2)f(1)=1(3)若,则有()试求f(0)的值;()试求函数f(x)的最大值;()(理科学生做,文科学生不做)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x,都有f(x)2x高三数学第一学期期末练习参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分,共40分)1C 2B 3D 4理A 文B 5C 6A 7理A 文B 8D二、填空题(每小题5分,其中第一空3分,第二空2分,共30分)。9;105;611理:; 文:;122;-1x1时,原不等式为上述不等式或5分解得:1x7或-2x1即-2
4、x77分()当0a712分综合()()可得当a1时,原不等式的解集为x|-2x7当0a7。(文科)解:原不等式可以化成2分即4分上述不等式或8分解得:1x7或-2x112分即原不等式的解集为x|-2x|AB|,从而P点的轨迹T是中心在原点,以A、B为两个焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中,2a=6,2c=4,椭圆方程为6分()(理科)当直线l与x轴垂直时,MN的中点为R(2,0)直线RS的纵截距t=07分当直线l与x轴不垂直时,设其斜率为k,点、。由,消去y整理得:9分,则直线RS的方程为。令x=0,可得直线RS的纵截距。如果k=0,则t=0;如果k0,则。当且仅当时,等号成立。14分或综上可知,
5、所求t的取值范围是。16分(文科)直线l的斜率,又l过B(2,0)点,其方程为由,消去y整理得:9分设点、,则,12分点A(-2,0)到直线l的距离为d,则14分AMN的面积为16分(注:本题也可以用求解,参照以上评分标准给分)20(本题满分12分)()令,依条件(3)可得f(0+0) f(0)+f(0),即f(0) 0。又由条件(1)得f(0) 0,则f(0)=0理:3分,文:5分()任取,可知则理:5分。文:8分即,故于是当0x1时,有f(x)f(1)=1因此,当x=1时,f(x)有最大值为1,理:7分。文:12分()(理科)证明:研究当时,f(x) 12x当时,首先,f(2x) f(x)+f(x)=2f(x),9分显然,当时,成立。假设当时,有成立,其中k1,2,那么当时,可知对于,总有,其中n=1,2,而对于任意,存在正整数n,使得,此时11分当x=0时,f(0)=02x12分综上可知,满足条件的函数f(x),对x0,1,总有f(x) 2x成立。(囿于篇幅,若有其它正确解法请按相应步骤给分。)