1、4函数的奇偶性与简单的幂函数41函数的奇偶性新课程标准解读核心素养1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义数学抽象2.了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用直观想象、逻辑推理在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影问题我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？知识点函数的奇偶性1奇函数(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的xA，有xA，且f(x)f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然2偶函数(1)定义：设函数f(x)的定义域是A
2、，如果对任意的xA，有xA，且f(x)f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；(2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然3奇偶性当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性对函数奇偶性的再理解(1)定义域I具有对称性，即xI，xI.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(x)的关系特别地，若f(x)f(x)且f(x)f(x)是非奇非偶函数；若f(x)f(x)且f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数 1下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()解析：选B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的
3、定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数故选B.2下列函数是偶函数的是_(填序号)yx；y2x23；y；yx2，x0，1答案：3若函数yf(x)，x1，a是奇函数，则a_答案：14若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)2，则f(3)_，f(0)_解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(3)f(3)2，f(0)0.答案：20判断函数的奇偶性例1(链接教科书第65页例2)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)|x2|x2|；(3)f(x)x2(x0，aR)解(1)函数f(x)的定义域为x|xR且x1，定义域不关于原点对称，
4、该函数既不是奇函数也不是偶函数(2)法一(定义法)：函数f(x)|x2|x2|的定义域为R，关于原点对称f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，函数f(x)|x2|x2|是奇函数法二(根据图象进行判断)：f(x)|x2|x2|画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数(3)当a0时，f(x)x2为偶函数当a0时，f(x)x2(x0)，取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，即f(1)f(1)，f(1)f(1)，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数综上所述，当aR且a0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a0时，函数f(x)为偶函数
5、判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法(2)图象法提醒对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式 跟踪训练下列四个函数中为偶函数的是()Ay2xByCyx22x Dy|x|解析：选D由题易知A为奇函数；B中，函数的定义域为x|x1，故y为非奇非偶函数；C中，f(x)f(x)，f(x)f(x)，故yx22x为非奇非偶函数；D中，函数的定义域为R，f(x)|x|x|f(x)，故y|x|为偶函数利用函数奇偶性求参数例2(链接教科书第71页B组7题)(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1，2a，则a_，b_；(2)若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则
6、实数a_；(3)已知函数f(x)为奇函数，则a_解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.易知函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)f(x)(xa)(x4)x2(a4)x4a，f(x)x2(a4)x4a，因为f(x)为偶函数，所以两式恒相等，则a40，即a4.(3)因为f(x)是奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0，所以f(1)0，即0，解得a1.经检验，a1符合题意答案(1)0(2)4(3)1利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为a，b，根据定义域关于原点对称，利用ab0求参数；(2)解析式含参
7、数：根据f(x)f(x)或f(x)f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解 跟踪训练若函数f(x)为奇函数，则a()A BC D1解析：选A因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，所以，所以1a3(1a)，解得a.利用函数的奇偶性求解析式(值)角度一定义法求函数解析式例3已知f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1.(1)求f(1)；(2)求f(x)的解析式解(1)因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)(212311)2.(2)当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，则f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1.当x0时，f(0)f(
8、0)，则f(0)f(0)，即f(0)0.所以f(x)的解析式为f(x)母题探究(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x0”改为“x0”，其他条件不变，求f(x)的解析式解：当x0，此时f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是偶函数，则f(x)f(x)2x23x1，所以f(x)的解析式为f(x)利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f(x)的奇偶性写出f(x)或f(x)，从而解出f(x) 角度二方程组法求函数解析式例4设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(
9、x)g(x)，求函数f(x)，g(x)的解析式解f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，由f(x)g(x)，用x代替x，得f(x)g(x)，f(x)g(x)，()2，得f(x)；()2，得g(x).已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为x，构造方程组求解 跟踪训练1已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26B18C10 D10解析：选A法一：令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(2)g(2)，又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810，g(2)18，g(2)g(2)18，f(2)g(2)818
10、826.法二：由已知条件，得得f(2)f(2)16.又f(2)10，f(2)26.2已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x1奇偶性与单调性的综合应用例5(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上单调递增，则()Af(1)f(3)f(4) Bf(4)f(3)f(1)Cf(3)f(4)f(1) Df(1)f(4)f(3)(2)已知函数yf(x)在定义域1，1上既是奇函数，又是减函数，若f(1a2)f(1a)0，则实数a的取值范围为_；(3)定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0
11、，2上单调递减，若f(1m)f(0)，即f(1)0，所以f(1)f(1)0，于是f(1)f(4)f(3)(2)由f(1a2)f(1a)0，得f(1a2)f(1a)yf(x)在1，1上是奇函数，f(1a)f(a1)，f(1a2)f(a1)又f(x)在1，1上单调递减，解得0a1.a的取值范围是0，1)(3)函数f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)原不等式等价于解得1m.实数m的取值范围是.答案(1)D(2)0，1)(3)奇偶性与单调性综合问题的两种题型及解法(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，
12、转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小；(2)抽象不等式问题，解题步骤是：将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0f(1)，f(x1)0，则f(x1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)解析：选A由偶函数与单调性的关系知，若x0，)时，f(x)是增函数，则x(，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自
13、变量的绝对值越小，则其函数值越小，|2|3|f(3)f(2)，故选A.2函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1 Ba1或a2 D1a2解析：选C因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以31或aa，求a的取值范围解：(1)由f(1)f(3)3，得解得(2)2，2由(1)知f(x)x24x，则当x0时，g(x)x24x；当x0，则g(x)(x)24(x)x24x，因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)x24x.若g(a)a，则或解得a5或5a0.综上，a的取值范围为(5，0)(5，)9
