1、秘密启用前巍山二中2023届高一春季学期期末考试数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷第1页至第2页，第卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第卷(选择题，共60分)注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名准考证号考场号座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合，集合，则图中阴影部分
2、表示的集合是（ ）A. B. C. D.2.已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）A. B.2 C. D.3.函数，则函数（ ）A.在上的增函数 B.在上的减函数C.在上是增函数 D.在上是减函数4.总体由编号为的50个个体组成，利用随机数表从中抽取5个个体，下面提供随机数表的第5行到第7行：若从表中第6行第5列开始向右依次读取，则抽取的第4个个体的编号是（ ）A.49 B.30 C.47 D.505.已知且，则的最小值为（ ）A.3 B.4 C.5 D.66.已知函数，则（ ）A.的最小正周期为 B.的图象关于轴对称C.的图象不关于对称 D.的图象关于对称7.已知为单位向量，且，若，则（
3、）A. B. C. D.8.已知函数则在上的零点个数为（ ）A.6 B.7 C.8 D.99.设样本数据的平均数为，方差为，若数据的平均数比方差大4，则的最大值为（ ）A. B. C. D.110.古希腊数学家阿基米德在论球和圆柱中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式.其中包括他最得意的发现-“圆柱容球”，设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆(球大圆为过球心的平面和球面的交线)为底，以球的直径为高，则球的表面积与圆柱的体积之比为（ ）A. B. C. D.11.的三个内角的对边分别为，若，则的形状是（ ）A.等腰非直角三角形 B.直角非等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形12.如图
4、，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论正确的个数是（ ）三棱锥的体积不变；平面；平面平面；.A.4 B.3 C.2 D.1第卷(非选择题，共90分)注意事项：第卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.2020年初，一场突如其来的新冠疫情给人民的生命安全和身体健康造成严重侵害.全国各地疾控部门迅速行动，某研究所受命对新冠病人的血型进行病理分析，从5000名病人中抽取500人的血液作为样本，已知这5000名病人A，B，O，AB四大血型的比例为76102，则抽取的样本中，AB血型的样本有_人.14.函数是偶函数，则实数
5、_.15.已知8件产品中有6件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件_次品的概率为.(注：第一空2分，第二空3分)16.在三棱锥中，平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_.三解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知复数.（1）求，及；（2）在复平面上，复数分别对应的点为，求两点间的距离.18.(本小题满分12分)已知点是线段的中点.（1）求点和的坐标；（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标.19.(本小题满分12分)已知的三
6、个内角的对边分别为，满足.（1）求；（2）若，角的角平分线交边于点，求的长.20.(本小题满分12分)去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如图.（1）如下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；面试分数人数1041频率（2）该大学的招生办从2530号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率.21.(本小题满分12分)已知函数常数.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，求的最大值.22.(本小题满分12分)如图，在中，为的中点，将沿直
7、线折起到的位置，此时平面平面.（1）证明：；（2）设分别是线段的中点，求三棱锥的体积巍山二中2023届高一春季学期期末考试数学参考答案第卷(选择题，共60分)一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)题号123456789101112答案CACBCDDBACDB【解析】1.阴影部分表示的集合是，故选.2.复数为纯虚数，则，即，故选A.3.反比例函数的图像在二四象限，且在每个象限随的增大而增大的，在第二象限内的点对应的纵坐标都大于零，在第四象限内对应的纵坐标都小于零，错误，故选.4.利用随机数表从第6行第5列开始向右读取，依次为去除)，去除)，49，65(去除)，去除)，去除)，47，3
8、0，所以抽取的第4个个体的编号是30，故选.5.且，则，当且仅当且，即时取等号，此时取得最小值5，故选.6.因为，所以的最小正周期不是，故错误；因为，所以是奇函数，其图象不关于轴对称，故B错误；因为，所以的图象关于对称，故错误；因为，所以的图象关于对称，故正确，故选.7.为单位向量，且，则，故选D.8.函数与的图象在和内各有一个交点，根据周期性可知，在内共有7个交点，即函数在上有7个零点，故选B.9.设数据的平均数为，方差为，所以，由题意可得，所以，则，因为，所以，故当时，取得最大值，故选.10.作轴截面如图1，可知圆柱的底面半径为1，高为2，球的半径为1，则球的表面积为，圆柱的体积为球的表面
9、积与圆柱的体积之比为球的表面积与圆柱的体积之比为2：1，故选C.11.，整理得，即，由正弦定理得，即，由正弦定理得，故，故为等腰直角三角形，故选D.12.如图，由三棱锥的体积即为三棱锥的体积，而底面的面积为定值，到平面的距离为正方体的棱长，故三棱锥的体积为定值，则正确；由，由面面平行的判定定理可得平面平面，而平面，所以平面，则正确；由，可得平面，则，同理可得，则平面，而平面，即平面平面，则正确；当与重合时，与成的角，则不正确，故选B.第卷(非选择题，共90分)二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)题号13141516答案4014【解析】13.根据分层抽样原理知，抽取500人的样本中，
10、血型的样本数为(人).14.根据题意，因为，且是偶函数，则，即变形可得，故.15.第一次和第二次都检验出次品的概率为；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，有两种可能：正次正次，正正次次，概率为16.如图3，由，得，在中，又，即，平面平面，且平面平面平面，把三棱锥放置在长方体中，可得为三棱锥的外接球的直径，则半径为.三解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解：（1），.（2）由题意可知，.18.(本小题满分12分)解：（1）是线段的中点，（2）设，则，解得，点的坐标是.19.(本小题满分12分)解：（1）由正弦定理及.得.因为，所以，
11、即，所以，由为三角形内角得.（2）由余弦定理得，所以，解得或(舍)，中，为的平分线，则，由正弦定理得，所以.20.(本小题满分12分)解：（1）面试分数在内的学生共有(名)，故，所以，估计这些学生面试分数的平均值为(分).（2）从号学生中任选两人的选择方法有：，共15种，观察题图易知25号，26号，27号学生的面试分数均在200分以上，所以选择的两人的面试分数均在200分以上的选择方法有：，共3种，故选择的两人的面试分数均在200分以上的概率为.21.(本小题满分12分)解：（1）当时，由得，即，解得，所以的解集为.（2）令，因为，所以，若求在上的最大值，即求函数在上的最大值，时，对称轴为.当时，即时，；当，即时，综上，当时，的最大值为；当时，的最大值为.22.(本小题满分12分)（1）证明：是的中点，即，平面平面，且平面平面，平面，而平面，（2）解：如图，分别取的中点，连接，由（1）可知平面，且，是的中点，点到平面的距离，三棱锥的体积为.
