1、83.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积新课程标准解读核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式直观想象2.能用公式解决简单的实际问题数学运算在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体问题你会求上述几何体的表面积及体积吗？知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱2r(rl)(r是底面半径，l是母线长)；V圆柱r2h(r是底面半径，h是高)圆锥S圆锥r(rl)(r是底面半径，l是母线长)；V圆锥r2h(r是底面半径，h是高)圆台S圆台(r2r2rlrl)(r，r分别是上、
2、下底面半径，l是母线长)；V圆台h(r2rrr2)(r，r分别是上、下底面半径，h是高)圆柱、圆锥、圆台的关系(1)侧面积公式间的关系(2)体积公式间的关系 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长()(2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形()答案：(1)(2)2若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为()A.B.CD2解析：选CVSh31.3圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()A72 B42 C67 D72解析：选CS表(32423646)67.故选C.4一个高为2的圆柱
3、，底面周长为2.该圆柱的表面积为_解析：由底面周长为2可得底面半径为1.S底2r22，S侧2rh4，所以S表S底S侧6.答案：6知识点二球的表面积和体积公式设球的半径为R，则球的表面积S4R2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍球的体积VR31判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个球的半径之比为12，则其体积之比为14.()(2)球的表面积等于它的大圆面积的2倍()答案：(1)(2)2直径为1的球的体积是()A1 B. C. D解析：选BR，故VR3.3表面积为8的球的半径是_解析：S4R28，故R.答案：圆柱、圆锥、圆台的表面积例1如图，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，
4、AB5，BC16，AD4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4，下底半径是16，母线DC13.故该几何体的表面积为(416)1342162532.母题探究(变设问)在本例条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积解：以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图其中圆锥的高为16412，圆柱的母线长为AD4，故该几何体的表面积为25452513130.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下
5、：(1)得到空间几何体的平面展开图；(2)依次求出各个平面图形的面积；(3)将各平面图形的面积相加 跟踪训练1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574，则圆台较小的底面半径为_解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得(r3r)3r29r2574，解得r7.答案：72.如图，一个圆锥的底面半径为2 cm，高为6 cm，其中有一个高为x cm的内接圆柱(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)S圆柱侧2rx2x4xx2，x(0，6)(2)由(1)知当x3时，这个二次函数有最大值6，当圆柱的高为3 cm时
6、，它的侧面积最大为6 cm2.圆柱、圆锥、圆台的体积例2(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A.B.C64 D128(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A5 B6C20 D10解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r ，即lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，r4. l4，高h 4.圆锥的体积VSh424，故选A.(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.答案(1)A(2)D圆
7、柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出；(2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去 跟踪训练1若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A1 B12C.2 D34解析：选D设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有2Rh2rh，所以R2r，V圆锥R2hr2h，V圆柱r2h，故V圆柱V圆锥34.2圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，则这个圆台的体积是()A. B2C. D解析：选DS1，S24，r1，R2，S侧6(rR)l，l2
8、，h.V(142).故选D.球的表面积和体积例3ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB4，AC2，BC6.球心O与BC中点的连线长为4.求球的表面积与体积解因为AB4，AC2，BC6，所以AB2AC2BC2，即ABC为直角三角形所以平面ABC截球所得截面是以BC为直径的圆由已知球心O与截面圆心的距离为4，所以球的半径R5.所以球的表面积S4R2100，体积VR3.因为球的表面积与体积都是球半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键 跟踪训练若两球的表面积之差为48，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为_解析：设两个球的半径分别为R，r(Rr)，则由题意得即整理，得
9、解得故两球的体积之差的绝对值为4323(4323).答案：与球有关的切、接问题例4(链接教科书第119页例4)(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_；(2)在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比(1)解析由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.答案(2)解作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OC.在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2，即a2R2，Ra.从而V半球R3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.球的切、接问题处理策略及常用结论(1)在处理与球有关的切接问题时
10、，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等；(2)几个常用结论球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径；球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；球与棱锥相切，则可利用V棱锥S底hS表R，求球的半径R. 跟踪训练已知四面体SABC的各棱长均为，求该四面体内切球及外接球的体积解：如图，在四面体SABC中，取底面ABC的中心为O1，连接SO1，O1A，则SO1O1A.AO11，SO1，四面体的体积为V()2.
11、设内切球球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，VSABCVOSABVOSBCVOSACVOABCS表r4()2rr，r，内切球的体积为V内r3.设外接球的半径为R，则ROSSO1OO1SO1r，外接球的体积为V外R3.1已知球O的表面积为16，则球O的体积为()A. B.C. D解析：选D因为球O的表面积是16，所以球O的半径为2，所以球O的体积为23，故选D.2将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4 B3C2 D解析：选C底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.3已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_解析：设底面半径为r，则r244，解得r，即底面半径为.答案：4如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为_解析：画出轴截面如图所示，设球的半径为r，则ODr，PO2r，PDO90，CPB30.又PCB90，CBPCr，PB2r，圆锥的侧面积S1r2r6r2，球的表面积S24r2，S1S232.答案：32
