1、第3课时数学归纳法一、 填空题1. 利用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nN* 时，从“nk”变到 “nk1”时，左边应增乘的因式是_答案：2(2k1)解析：由题意知，nk时，左边为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左边为(k2)(k3)(k1k1); 从而增加的两项为(2k1)(2k2)，减少的一项为k1.故左边应增乘的因式为2(2k1)2. 用数学归纳法证明不等式 的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_答案：解析：不等式的左边增加的式子是，故应填.3. 若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案：f(k1)f
2、(k)(2k1)2(2k2)24. 设f(n)1(nN*)，则f(k1)f(k)_答案：解析：f(k1)f(k)1.5. 在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，任何三条直线都不共点设这n条直线将平面分成f(x)个部分，则f(k1)f(k)_答案：k1解析：一条直线分成112(个)部分，两条直线分成1124(个)部分，三条直线分成11237(个)部分，f(n)11234n，则f(k1)f(k)11234k(k1)(11234k)k1.6. 用数学归纳法证明123n2时，当nk1时左端应在nk的基础上加上_答案：(k21)(k22)(k23)(k1)2解析： 当nk时，左侧123k2，当nk1
3、时，左侧123k2(k21)(k1)2， 当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.7. 观察下列式子：1，1，1，则可归纳出_答案：1(nN*)解析：1，即1；1，即1，归纳出1(nN*)成立，其初始值至少应取_答案：8解析：左边12，代入验证可知n的最小值是8.9. 用数学归纳法证明：；当推证nk1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是_答案：解析：当nk1时，故只需证明即可10. 若数列an的通项公式an，记cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn_答案：解析：c12(1a1)2，c22(1a1)(1a2)2
4、，c32(1a1)(1a2)(1a3)2，故由归纳推理得cn.二、 解答题11. 已知数列an满足an1(nN*)，a1.试通过求a2，a3，a4的值猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明解：a2，a3，a4.猜想：an(nN*)用数学归纳法证明如下： 当n1时，左边a1，右边，所以等式成立； 假设nk时等式成立，即ak，则当nk1时，ak1，所以当nk1时等式也成立由得，当nN*时等式都成立12. 是否存在常数a，b，c，使等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n成立？证明你的结论解：分别用n1，2，3代入解方程组下面用数学归纳法证明 当n1时，由上可知等
5、式成立； 假设当nk时，等式成立，则当nk1时，左边1(k1)2122(k1)222k(k1)2k2(k1)(k1)2(k1)21(k212)2(k222)k(k2k2)1(2k1)2(2k1)k(2k1)k4k2(2k1)2(2k1)k(2k1)(k1)4(k1)2， 当nk1时，等式成立由得等式对一切的nN*均成立13. 已知(x1)na0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3an(x1)n(其中nN*)，Sna1a2a3an.(1) 求Sn；(2) 求证：当n4时，Sn(n2)2n2n2.(1) 解：取x1，则a02n；取x2，则a0a1a2a3an3n， Sna1a2a3an3n2n.(2) 证明：要证Sn(n2)2n2n2，只需证3n(n1)2n2n2， 当n4时，8180；假设当nk(k4)时，结论成立，即3k(k1)2k2k2，两边同乘以3 得：3k13(k1)2k2k2k2k12(k1)2(k3)2k4k24k2而(k3)2k4k24k2(k3)2k4(k2k2)6(k3)2k4(k2)(k1)60， 3k1(k1)12k12(k1)2，即nk1时结论也成立， 当n4时，3n(n1)2n2n2成立综上，原不等式成立
