1、7.3空间中的平行关系必备知识预案自诊知识梳理1.直线与平面平行的判定定理及性质定理定理条件结论图形语言符号语言判定定理的一条直线与的一条直线平行这条直线与这个平面lmlml性质定理如果一条直线与一个平面,且经过这条直线的平面与这个平面这条直线与两平面的平行llm2.平面与平面平行的判定定理及性质定理定理语言叙述符号表示图形表示判定定理如果一个平面内有两条直线分别另一个平面,那么这两个平面平行l,ml,m性质定理如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线,=l,=m1.两条平行线中的一条与一个平面平行(另一条直线不在该平面内),另一条也与这个平面平行.2.过平面外一点可以作无数条直线
2、与该平面平行,这些直线都在同一平面内.3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.10.垂直于同一条直线的两个平面平行.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)若一条直线平行于
3、一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.()(2)平行于同一条直线的两个平面平行.()(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.()(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行.()(5)若直线a与平面内无数条直线平行,则a.()2.(2020广东湛江高三一模)已知直线a,b,平面,a,b,则a,b是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是有()A.AD1BC1B.平面AB1D1平面BDC1C.AD1DC1D.AD1平面BDC14.如图,
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上,若EF平面AB1C,则EF=.5.(2020江苏如皋中学月考)已知平面平面,点P是平面,外一点(如图所示),且直线PB,PD分别与,相交于点A,B,C,D,若PA=4,PB=5,PC=3,则PD=.关键能力学案突破考点直线与平面平行的判定与性质(多考向探究)考向1直线与平面平行的判定与证明【例1】(一题多解)如图,在四棱锥E-ABCD中,ABCD,ABC=90,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF平面BCE.解题心得证明线面平行有两种常用方法一是线面平行的判定定理;二是先利用面面平行的判定定理证明
5、面面平行,再根据面面平行的性质证明线面平行.考向2直线与平面平行性质定理的应用【例2】如图,五面体ABCDE中,四边形ABDE是矩形,ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是线段BC上一点,直线BC与平面ABD所成角为30,CE平面ADF.(1)试确定F的位置;(2)求三棱锥A-CDF的体积.解题心得在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定注意定理成立的条件,通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤,如:把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.对点训练1(1)如图,四棱锥P-ABCD中,ADBC,AB=BC=12AD,E,F,H分别是
6、线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点.求证:AP平面BEF;GH平面PAD.(2)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形且ABC=120,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.求证:EFCD;考点面面平行的判定与性质(多考向探究)考向1面面平行的判定与证明【例3】已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,AD=2BC,E,F分别为CC1,DD1的中点.求证:平面BEF平面AD1C1.解题心得证明面面平行的常用方法1.利用面面平行的定义或判定定理.2.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l,l).3.利用平面平行的传递性,即两个平面同时平
7、行于第三个平面,则这两个平面平行(,).对点训练2(2020河北邯郸二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.(1)求证:平面CMN平面PAB;(2)求三棱锥P-ABM的体积.考向2面面平行性质定理的应用【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,试画出平面A1BC1与底面ABCD的交线l,并说明理由.解题心得证明线线平行的方法(1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.(3)线面平行的性质定理:aa=bab,应用时题目条件中需
8、有线面平行.(4)面面平行的性质定理:=a=bab,应用时题目条件中需有面面平行.(5)反证法:假设两条直线不平行,然后推出矛盾,进而证明两条直线应当是平行的.对点训练3如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的多面体中,AF平面ABCD,DE平面ABCD,ADBC,BC=2AD.请在图中作出平面,使得DE,且BF,并说明理由.考点平行关系的综合应用【例5】如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.(1)若BC1平面AB1D1,则A1D1D1C1=;(2)若平面BC1D平面AB1D1,则ADDC=.解题心得利用线面平行或面面平行的性质,可以实现与线线平行的转
9、化,尤其在截面图的画法中,常用来确定交线的位置.对于线段长或线段比例问题,常用平行线对应线段成比例或相似三角形来解决.对点训练4(1)(2020江西吉安一模)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面平面AMN,则平面截该正方体所得截面的面积为()A.2B.98C.3D.62(2)如图所示,侧棱与底面垂直,且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,M,N分别在线段AD1,BC上移动,始终保持MN平面DCC1D1,设BN=x,MN=y,则函数y=f(x)的图像大致是()考点平行关系的探究性问题【例6
10、】(2020河南南阳高三二模)在直角梯形ABCD中(如图1),ABDC,BAD=90,AB=5,AD=2,CD=3,点E在CD上,且DE=2,将ADE沿AE折起,使得平面ADE平面ABCE(如图2),G为AE的中点.(1)求四棱锥D-ABCE的体积;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP平面ADE?若存在,求BPBD的值;若不存在,请说明理由.解题心得解决存在问题除了从正面探索所研究的对象是否存在,还可以先假设求解的结论存在,从这个结论出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.对点训练5如图,在空间几何体ABCDE中,BCD与CDE均为边长为2的等边三角形,ABC为腰长为13的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.试在平面BCD内作一条直线,使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行,并给出详细证明.
