1、第五章平面向量、复数5.1平面向量的概念及线性运算必备知识预案自诊知识梳理1.向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量称为向量;向量AB的大小也称为向量的(或)记作AB零向量的向量记作0,其模为0单位向量模等于的向量非零向量a的单位向量为a|a|相等的向量大小、方向的向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小两个向量平行(共线)如果两个向量的方向,则称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线规定零向量与任一向量平行(共线)相反向量给定一个向量,把与这个向量方向、大小的向量称为它的相反向量零向量的相反向量仍是零向量2.向量的加法(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,在该平面内任
2、取一点A,作AB=a,BC=b,作出向量AC,则向量AC称为向量(也称AC为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作.(2)向量求和的法则向量加法的三角形法则已知非零向量a,b,在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=AB+BC=AC.向量加法的平行四边形法则已知两个不共线向量a,b,作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作ABCD,则对角线上的向量AC=AB+AD=a+b.(3)向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|.(4)向量加法的运算律交换律:a+b=.结合律:(a+b)+c=.(5)多个向量相加
3、已知n个向量,依次把这n个向量,以第一个向量的始点为始点,第n个向量的终点为终点的向量,称为这n个向量的和向量.3.向量的减法(1)定义:一般地,平面上任意给定两个向量a,b,如果向量x能够满足b+x=a,则称x为向量a与b的差,并记作.(2)向量减法的三角形法则:在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则向量a-b=BA,如图所示.(3)向量减法的平行四边形法则:如图,在平面内任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作平行四边形ABCD,则AC=a+b,DB=a-b(BD=b-a).4.数乘向量(1)数乘向量的定义一般地,给定一个实数与任意一个向量a,规定它们的乘积是一个,记作
4、a,其中:()当0且a0时,a的模为,而且a的方向如下:当0时,与a的方向;当0时,与a的方向.()当=0或a=0时,a=.实数与向量a相乘的运算简称为数乘向量.(2)数乘向量的定义说明如果存在实数,使得b=a,则ba.(3)数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.(4)数乘向量的运算律设,为实数,则(a)=()a;特别地,我们有(-)a=-(a)=(-a).5.向量的运算律一般地,对于实数与,以及向量a,有(1)(a)=;(2)a+a=;(3)(a+b)=.1.常用的两个结论:若
5、AB=DC,且A,B,C,D四点不共线,则四边形ABCD为平行四边形;若四边形ABCD为平行四边形,则AB=DC.若AB=AC,则A,B,C三点共线;若ABAC,则A,B,C三点共线.2.在ABC中,AD,BE,CF分别为三角形三边上的中线,它们交于点G(如图所示),易知G为ABC的重心,则有如下结论:(1)GA+GB+GC=0;(2)AG=13(AB+AC);(3)GD=12(GB+GC)=16(AB+AC).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(2)AB+BC+CD=AD.()(3)若两个向量共线,则其
6、方向必定相同或相反.()(4)若向量AB与向量CD是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若ab,bc,则ac.()2.(2020河南开封模拟)AB+BC-AD=()A.CDB.CBC.ADD.DC3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是ABC的重心,BC边的中点为D,则下列结论正确的是()A.G是ABC的三条中线的交点B.GA+GB+GC=0C.AG=2GDD.AG=GD4.(2020山东菏泽调研)设a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-2a)共线,则=.5.(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.关键能力学案突
7、破考点平面向量的有关概念【例1】给出下列四个说法:若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点,则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab.其中正确说法的序号是()A.B.C.D.解题心得平面向量有关概念的关键点(1)平面向量定义的关键是方向和大小.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是1个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线.对点训练1给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是
8、共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.4考点平面向量的线性运算【例2】(1)在ABC中,BD=13BC,若AB=a,AC=b,则AD=()A.23a+13bB.13a+23bC.13a-23bD.23a-13b(2)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=BA+BD(,R),则+等于()A.1B.34C.23D.12解题心得平面向量的线性运算的求解策略(1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加法、减法运算及数乘向量来求解.(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.对点训练2(1)在ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|BO|=3|CO|,当AO=xAB+yAC时,x-y=()A.-2B.-3C.2D.3(2)如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE的中点,则AF=()A.34AB+14ADB.14AB+34ADC.12AB+ADD.34AB+12AD
