1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值必备知识预案自诊知识梳理1.函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有(1)f(x)f(x0),则称x0为函数f(x)的一个,且f(x)在x0处取值.与都称为极值点,与都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.一般地,如果x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有.2.函数的导数与极值一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f(x0)=0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x,都有,对于x0右侧附近的任意x,都有,那么此时x0是f(x)的极大值点.(2)如
2、果对于x0左侧附近的任意x,都有,对于x0右侧附近的任意x,都有,那么此时x0是f(x)的极小值点.(3)如果f(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为(或均为),则x0一定不是y=f(x)的极值点.3.函数的最值(1)一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在最值,则函数的最值点一定是某个;(2)如果函数y=f(x)的定义域为a,b且存在最值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是,要么是.1.对于可导函数f(x),f(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.2.若f(x)的图像连续不断,则f(x)在a,b上有最大值与最小值;若f(x
3、)在a,b上具有单调性,则f(x)的考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)导数为零的点不一定是极值点.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()2.函数f(x)=43x3-6x2+8x的极值点是()A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=23.设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点4.函数f(x)=ln x-x在区
4、间(0,e上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.05.(2020河南开封三模,理7,文9)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处取极大值,则c=()A.-2或-6B.2或6C.2D.6关键能力学案突破考点讨论函数极值点的个数【例1】设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间极值最大(小)值问题的具体步骤:(1)求函数定义域.(2)求导通分或因式分解或二次求导.(3)对参数分类,分类的层次:按导函数的类型分大类;按导函数是否有零点分小类;在小类中再按导函数零点的大小分小类;在小类的小类
5、中再按零点是否在定义域中分小类.对点训练1设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b0.(1)当b12时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点.考点求函数的极值、最大(小)值【例2】已知函数f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值.解题心得求最大(小)值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最大(小)值.若有唯一的极值点,则其为最值点.对点训练2(2020北京,19)已知函数f(x)=12-x2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;(2)设曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐
6、标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.考点在恒成立中求参数的极值、最大(小)值【例3】设a0,若ln1+|x|1-|x|a|x|对x(-1,1)恒成立,求a的最大值.解题心得洛必达法则:如果当xx0(x0也可以是)时,两个函数f(x)和g(x)都趋向于零或都趋向于无穷大,那么极限limxx0f(x)g(x)可能存在,也可能不存在.我们称这类极限为00型或型不定式极限.对于这类极限,一般要用洛必达法则来求.定理1:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g(x)0.(2)limxx0f(x)=limxx0g(x)=0.(3)limx
7、x0f(x)g(x)=a,则有limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)=a.定理2:若函数f(x)和g(x)满足条件:(1)f(x)和g(x)在x0的某个去心邻域内可导,且g(x)0.(2)limxx0f(x)=limxx0g(x)=.(3)limxx0f(x)g(x)=a,则有limxx0f(x)g(x)=limxx0f(x)g(x)=a.在定理1和定理2中,将分子、分母分别求导再求极限的方法称为洛必达法则.对点训练3(2020广东茂名一模,理20)设函数f(x)=ex-mx+n,曲线y=f(x)在点(ln 2,f(ln 2)处的切线方程为x-y-2ln 2=0.(1)求m
8、,n的值;(2)当x0时,若k为整数,且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.考点已知函数的极值求参数的取值范围【例4】设函数f(x)=exx2-k2x+ln x(k为常数,e=2.718 28是自然对数的底数).(1)当k0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求k的取值范围.解题心得1.由于极值点对应的函数的导数值为0,所以对函数进行求导后,先考查导函数的哪一部分的符号不为0,然后把可能为0的部分构造成新的函数进行研究,这样将复杂的问题进行等价转化为简单的问题是解决已知函数极值情况求参数的取值范围的常用方法.2.f(x)=0是f(x)有极
9、值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.对点训练4(2020江西名校大联考,理21)已知函数f(x)=lnx+ax+x(aR).若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,求实数a的取值范围.考点利用导数求实际问题中的最值【例5】(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO的距离a(单位:米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的
10、距离h2(单位:米)与F到OO的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价32k(单位:万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.对点训练5(2020四川三台中学期中,理12
11、)如图所示,四边形ABCD是边长为30 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒,若要包装盒容积最大,则EF的长为cm.高考大题专项(一)导数的综合应用考情分析导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一,近几年高考命题的趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,近两年的难度有所降低,题目所在试卷的位置有所提前,不再固定在最后压轴位置上,预计这一趋势会保持下去.突破1利用导数研究与不等式有关的问题必备知识
12、预案自诊知识梳理1.与ex,ln x有关的常用不等式的结论(1)由f(x)=ex图像上任一点(m,f(m)的切线方程为y-em=em(x-m),得exem(x+1)-mem,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex1+x;当m=1时,有exex.(2)由过函数f(x)=ln x图像上任一点(n,f(n)的切线方程为y-ln n=1n(x-n),得ln x1nx-1+ln n,当且仅当x=n时,等号成立.当n=1时,有ln xx-1;当n=e时,有ln x1ex.(3)由(1),(2)得,若x(0,+),则exx+1x-1ln x.2.证明含参数的函数不等式,其关键在于将所给的不等式进行“
13、改造”,得到“一平一曲”,然后运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.3.函数不等式的类型与解法(1)xD,f(x)kf(x)maxk;xD,f(x)kf(x)mink;(2)xD,f(x)g(x)f(x)maxg(x)min;xD,f(x)g(x)f(x)ming(x)max.4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略(1)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)
14、g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.关键能力学案突破考点求函数不等式的参数的取值范围(多考向探究)考向1求单变量函数不等式的参数的取值范围【例1】已
15、知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)略;(2)若当x(1,+)时,f(x)0,求实数a的取值范围.解题心得1.若x0,f(x)0成立,求a的取值范围,即求当x0,f(x)0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围使得当x0时f(x)0成立.2.对于恒成立求参数取值范围的问题,最值法与分离参数法是两种最常用的方法.如果分离后的函数容易求最值,则选用分离参数法,否则选用最值法.最值法主要考查学生分类讨论的思想,一般遵循“构造函数分类讨论”两步来展开.一些稍难的恒成立问题,如果用分离参数法来处理,往往需要多次求导和使用洛必达法则.对点训练1(2020新高考全国1,21)已知函数
16、f(x)=aex-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)1,求实数a的取值范围.考向2求双变量函数不等式的参数的取值范围【例2】(2020山东潍坊临朐模拟一,22)已知函数f(x)=mln x-x+mx(mR).(1)略;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,不等式f(x1)+f(x2)x12+x22mx1x2,求实数m的取值范围.考点利用导数证明不等式(多考向探究)考向1单未知数函数不等式的证明【例3】已知函数f(x)=ex-ln(x+m).(1)略;(2)当m2时,证明f(x)0.解题心得1.对
17、于含有参数的一个未知数的函数不等式,其证明方法与不含参数的一个未知数的函数不等式证明大体一致.可以直接证明,也可以放缩后再证明,也可以分离参数后,利用导数求最值来证明.2.证法1与证法2中出现的x0的具体数值是无法求解的,只能求出其范围,我们把这种零点称为“隐性零点”.证法2比证法1简单,这是因为利用了函数单调性将命题ex-ln(x+m)0加强为ex-ln(x+2)0,转化为研究一个特例函数的问题,从而大大降低了题目的难度.证法2中,因为(x0)的表达式涉及ex0,ln(x0+2),都是超越式,所以(x0)的值不好计算,由此,需要对“隐性零点”满足的式子ex0-1x0+2=0进行变形,得到两个
18、式子ex0=1x0+2和ln(x0+2)=-x0,然后进行反代,从而将超越式转化为初等式.“反代”是处理“隐性零点”问题的常用策略.对点训练3已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)求证:当a1时,f(x)+e0.【例4】已知函数f(x)=x+ax.(1)略;(2)设函数g(x)=ln x+1,证明:当x(0,+)且a0时,f(x)g(x).解题心得欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间),设h(x)=f(x)-g(x)(xI),即证h(x)0,为此研究h(x)的单调性,先求h(x)的零点,根据零点确定h(x)在给定区间I上的正
19、负,若h(x)在区间I上单调递增或单调递减或先单调递减后单调递增,只须h(x)min0(xI)(若h(x)min不存在,则须求函数h(x)在与区间I相应的闭区间上的端点处的函数值),若h(x)在区间I上先单调递增后单调递减,只须区间I的端点的函数值大于或等于0;若h(x)的零点不好求,可设出零点x0,然后确定零点的范围,进而确定h(x)的单调区间,求出h(x)的最小值h(x0),再研究h(x0)的正负.对点训练4(2020全国2,理21)已知函数f(x)=sin2xsin 2x.(1)讨论f(x)在区间(0,)的单调性;(2)证明:|f(x)|338;(3)设nN*,证明:sin2xsin22
20、xsin24xsin22nx3n4n.考向2双未知数函数不等式的证明【例5】已知函数f(x)=1x-x+aln x(aR).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:f(x1)-f(x2)x1-x2a-2.解题心得对于两个未知数的函数不等式问题,其关键在于将两个未知数化归为一个未知数,常见的证明方法有以下四种:方法1:利用换元法,化归为一个未知数;方法2:利用未知数之间的关系消元,化归为一个未知数;方法3:分离未知数后构造函数,利用函数的单调性证明;方法4:利用主元法,构造函数证明.对点训练5(2020山东德州二模,21)已知函数f(x)=14x2-ax+al
21、n 2x(a0).(1)若a0时f(x)在1,e上的最小值是54-ln 2,求a;(2)若ae,且x1,x2是f(x)的两个极值点,证明:f(x1)+f(x2)0时,讨论函数f(x)的零点个数.解题心得有关函数的零点问题的解决方法主要是借助数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,利用函数的单调性模拟函数的图像,根据函数零点的个数的要求,控制极值点函数值的正负,从而解不等式求出参数的取值范围.对点训练1(2020湖南湘潭三模,理21)设函数f(x)=ln x,g(x)=mx-m2x.(1)当m=-1时,求函数F(x)=f(x)+g(x)的零点个数;(2)若x01,+),使得f(x0)k(x
22、-2)在x1时恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,请说明理由.指点迷津(一)在导数应用中如何构造函数在有关导数的应用中,无论是求函数的单调性、求极值最值,证明不等式、求参数的范围,还是讨论函数的零点,都需要从给定的已知条件中构造出一个或两个函数进行研究,构造的得当能降低难度,减少运算量,但有很多同学不知道如何构造,下面对如何构造函数给出归类和总结.1.作差直接构造法【例1】函数f(x)=(x-2)ex+12ax2-ax.设a=1,当x0时,f(x)kx-2,求k的取值范围.分析由f(x)kx-2,令g(x)=f(x)-kx+2=(x-2)ex+12x2-x-kx+2.2.局部构造法【例2
23、】已知函数f(x)=axlnxx-1.当a=1时,判断f(x)有没有极值点.分析当a=1时,f(x)=xlnxx-1,则f(x)=x-lnx-1(x-1)2,令g(x)=x-lnx-1.【例3】已知函数f(x)=ln(x-a)x.若a=-1,证明:函数f(x)是(0,+)上的减函数.分析当a=-1时,函数f(x)的定义域是(-1,0)(0,+),所以f(x)=xx+1-ln(x+1)x2,令g(x)=xx+1-ln(x+1).3.作差局部构造法【例4】已知函数f(x)=ln x-a(x-1),aR.当x1时,f(x)lnxx+1恒成立,求a的取值.分析f(x)-lnxx+1=xlnx-a(x2
24、-1)x+1,令g(x)=xlnx-a(x2-1)(x1).4.分离参数构造法【例5】在例4中,当x1时f(x)lnxx+1恒成立等价于ln x-lnxx+1a(x-1),(1)当x=1时,显然恒成立,aR.(2)当x1时,上式等价于lnxx-1-lnxx2-1alnxx-1-lnxx2-1maxa,令F(x)=lnxx-1-lnxx2-1.【例6】已知函数f(x)=ax-lnxx,aR.若f(x)0,求a的取值范围.分析函数的定义域为(0,+),由f(x)0得ax-lnxx0,即alnxx2.令g(x)=lnxx2.5.特征构造法【例7】若x0,证明:ln(x+1)xxex-1.分析因为xe
25、x-1=lnexex-1=ln(ex-1+1)ex-1,故原不等式等价于ln(x+1)xln(ex-1+1)ex-1,令f(x)=ln(x+1)x,由例3知f(x)=ln(x+1)x是(0,+)上的减函数,故要证原不等式成立,只需证明:当x0时,xx1时,不等式f(x1)x2-f(x2)x10恒成立,求实数a的取值范围.分析不等式f(x1)x2-f(x2)x10,即x1f(x1)-x2f(x2)x1x2x10可得x1f(x1)-x2f(x2)x1f(x1)恒成立,构造函数g(x)=xf(x)=ex-ax2.6.变形、化简后构造【例9】求证当x(0,+)时,lnex-1xx2.分析当x(0,+)
26、时,要证lnex-1xx2,只需证ex-1xex2,令F(x)=ex-1-xex2,F(x)=ex2ex2-1-x2,由exx+1可得,ex21+x2,则x(0,+)时,F(x)0恒成立,即F(x)在(0,+)上单调递增,F(x)F(0)=0,即ex-1xex2,lnex-1xx2.7.换元后构造【例10】已知函数f(x)=ln x-kx,其中kR为常数.若f(x)有两个相异零点x1,x2(x12.分析证lnx2-lnx1x2-x1(x2+x1)2,即证lnx2-lnx12(x2-x1)x2+x1,只要证lnx2x12(x2-x1)x2+x1.设t=x2x1(t1),则只要证lnt2(t-1)
27、t+1(t1).令g(t)=lnt-2(t-1)t+1.8.放缩后局部构造【例11】已知函数f(x)=ax2+x-1ex.证明:当a1时,f(x)+e0.分析当a1时,f(x)+e=ax2+x-1ex+ex2+x-1ex+e=(x2+x-1+ex+1)e-x.设g(x)=x2+x-1+ex+1,则g(x)=2x+1+ex+1.9.作差与分离变量的综合构造法【例12】已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(aR),g(x)=(1-a)x,若x01,e使得f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围.分析不等式f(x)g(x)在区间1,e上有解,即x2-2x+a(lnx-x)0在区间1
28、,e上有解.因为当x1,e时,lnx1x(不同时取等号),x-lnx0,所以ax2-2xx-lnx在区间1,e上有解.令h(x)=x2-2xx-lnx.10.主元构造法主元构造法,就是将多变元函数中的某一个变元看作主元(即自变量),将其他变元看作常数,来构造函数,然后用函数、方程、不等式的相关知识来解决问题的方法.【例13】已知函数g(x)=xln x,设0ab,证明:0g(a)+g(b)-2ga+b2(b-a)ln 2.分析对g(x)=xlnx求导,g(x)=lnx+1.在g(a)+g(b)-2ga+b2中以b为主元构造函数,设F(x)=g(a)+g(x)-2ga+x2,则F(x)=g(x)-2ga+x2=lnx-lna+x2.当0xa时,F(x)a时,F(x)0,因此F(x)在(a,+)上为增函数,从而当x=a时,F(x)有极小值F(a).因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即g(a)+g(b)-2ga+b20.设G(x)=F(x)-(x-a)ln2,则G(x)=lnx-lnx+a2-ln2=lnx-ln(x+a),当x0时,G(x)a,所以G(b)0,即g(a)+g(b)-2ga+b2(b-a)ln2.注:本题以b为主元构造函数,当然也可以以a为主元构造函数.
