1、高考资源网（） 您身边的高考专家22.4均值不等式及其应用第1课时均值不等式课程目标 1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；3.掌握运用均值不等式求最值的常用方法及需注意的问题知识点一均值不等式 填一填(1)如果a，b都是正数，那么，当且仅当ab时，等号成立此结论通常称为均值不等式，也称为基本不等式(2)对任意两个正实数a，b，我们称为a，b的算术平均值，称为a，b的几何平均值因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值答一答1如何证明均值不等式
2、？提示：因为a0，b0，所以0，即.当且仅当，即ab时，等号成立2从几何角度如何解释均值不等式？提示：以长为ab的线段为直径作圆，在直线AB上取点C，使ACa，CBb.过点C作垂直于直线AB的弦DD，连接AD、DB，如图，连接BD，易证RtACDRtDCB，那么CD2ACCB，得CD.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即.当且仅当点C与圆心重合，即ab时，等号成立知识点二均值不等式的应用 填一填设x，y都为正数，则有如下关系：(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值；(2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值2.答一答3如何证明“和定积最大，积定和最小”？提
3、示：(1)x，y都是正数，.又xys，xy()2，当且仅当xy时，取等号故若xys，当xy时，积xy取得最大值.(2)x，y都是正数，当且仅当xy时，等号成立又xyp，xy2.故若xyp，当xy时，和xy取得最小值2.类型一均值不等式应用的条件 例1下列不等式的证明过程正确的是()A若a，bR，则22B若x，yR，则|x|2C若x为负实数，则x24D若x0，则x222解析因a，bR，故当a，b异号时，与均负，故直接用均值不等式是错误的，则A选项错误；若x，yR，|x|2，没有条件xy0，不成立，所以B选项错误；C选项中，在x0时，0，b0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”
4、，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式.变式训练1已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是(D)Aa2b22ab Bab2C. D.2解析：利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a2b22ab的使用条件是a，bR.对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以0，0.所以2，即2成立类型二用均值不等式证明不等式 例2已知a、b、c是正实数，求证：abc.证明a、b、c是正实数，22c(当且仅当，即ab时，取等号)；22a(当且仅当，即bc时，取等号)；22b(当且仅当，即ac时，取等号
5、)；上面3个不等式相加得2222a2b2c(当且仅当abc时，取等号)abc.1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.变式训练2已知a0，b0，c0，求证：abc.证明：因为a0，b0，c0，故a2b2b2c222ab2c，b2c2c2a222abc2，c2a2a2b222a2bc.将上述三式相加，得2(a2b2b2c2c2a2)2abc(abc)，又abc0，故abc.例3已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.证明方法一：a0，b0，c0，33()()()32229.即9(当
6、且仅当abc时取等号)方法二：a0，b0，c0，(abc)()1113()()()32229.9(当且仅当abc时取等号)含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“abc1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.变式训练3已知a0，b0，c0，且abc1，求证：8.证明：a，b，c为正实数，且abc1，110，同理10，10，8(当且仅当abc时取等号)类型三利用均值不等式求最值 例4(1)已知0x0，y0，且满足1，则xy的最小值为_解析(1)因为0x0，所以x(13x)3x(13x)2，当且
7、仅当3x13x，即x时，等号成立，所以x时，x(13x)取得最大值.(2)xy(xy)1(xy)28，x0，y0，0，0，xy10218，当且仅当时等号成立，即y24x2，y2x.又1，x6，y12，当x6，y12时，xy有最小值18.答案(1)A(2)18求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值(适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)，不要忽略等号成立的条件.变式训练4(1)已知x3，则x的最小值为1.解析：因为x3，所以x30，则xx33231，当且仅当x3，即x2时等号成立，所以x有最小值，最小值为1.(2)设a0，b0，且ab2，则的最小值为2.解析：因为ab2，所以(ab)1，所以(ab)，因为a0，b0，故0，0，所以2，所以的最小值为2.1不等式a212a中等号成立的条件是(B)Aa1 Ba1Ca1 Da0解析：a212a(a1)20，a1时，等号成立2已知x0，则x2有(C)A最大值0 B最小值0C最大值4 D最小值4解析：因为x0，所以x22224，当且仅当x，即x1时取等号故选C.3已知0x0，b0，c0，求证：(1)6；(2)8.证明：(1)()()()2226(当且仅当abc时取“”)(2)8(当且仅当abc时取“”)- 10 - 版权所有高考资源网
