1、1几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)，则称这种模型为几何概型2几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比3借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率
2、估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是P.()1(教材改编)在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为()A. B. C. D1答案B解析坐标小于1的区间为0,1，长度为1，0,3区间长度为3，故所求概率为.2(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“1 1”发生的概率为()A. B. C. D.答案A解析由1 1，得x2，0x.由几何概型的概率计算公式得所求概率P.3(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏
3、盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，P(A)P(C)P(D)P(B)4(2016南昌模拟)一个边长为3 cm的正方形薄木板的正中央有一个直径为2 cm的圆孔，一只小虫在木板的一个面内随机地爬行，则小虫恰在离四个顶点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于_答案解析如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1S正方形4S扇形S小圆(3)22212954，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P.5.若将一个质点随机投入如图所示的长
4、方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是_答案解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A).题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)(2016全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B.C. D.(2)(2017太原联考)在区间，上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_答案(1)B(2)解析(1)至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.(2)当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.(3)如
5、图所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM1的概率解因为B60，C45，所以BAC75.在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM1”，则可得BAMBAD时事件N发生由几何概型的概率公式，得P(N).引申探究1本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？解当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.2本例(3)中，若将“在BAC内作射线AM交BC于点M”改为“在线段BC上找一点M”，求BM1的概率解依题意知BCBDDC1，
6、P(BM1).思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)(1)(2016全国乙卷)某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A. B. C. D.(2)已知集合Ax|1x5，B，在集合A中任取一个元素x，则事件“x(AB)”的概率是_答案(1)B(2)解析(1)如图所示，画出时间轴小明到达的时间会随机的落
7、在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P，故选B.(2)由题意得Ax|1x5，B，故ABx|2x3由几何概型知，在集合A中任取一个元素x，则x(AB)的概率为P.题型二与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题例2(2016全国甲卷)从区间0,1随机抽取2n个数x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为()A. B.C. D.答案C解析由题意得(xi，yi)(i1,2，n)在如图
8、所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，故选C.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题例3(2016武汉模拟)由不等式组确定的平面区域记为1，由不等式组确定的平面区域记为2，若在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_答案解析如图，平面区域1就是三角形区域OAB，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域OACD，易知C(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P.命题点3与定积分交汇命题的问题例4(2015福建)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析由题意
9、知，阴影部分的面积S(4x2)dx(4xx3)|，所以所求概率P.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解(1)(2016昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20的距离大于2的概率是()A. B.C. D.(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_答案(1)D(2)解析(1)作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的
10、三角形区域当点在AEF区域内时，点到直线y20的距离大于2.P.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S2(eex)dx2(exex)|2ee(01)2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为.题型三与体积有关的几何概型例5(1)(2016贵州黔东南州凯里一中期末)一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.(2)已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABCVSABC的概率是()A. B.
11、 C. D.答案(1)C(2)A解析(1)由题意知小蜜蜂的安全飞行范围为以这个正方体的中心为中心，且棱长为1的小正方体内这个小正方体的体积为1，大正方体的体积为27，故安全飞行的概率为P.(2)当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P1.思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求(2016哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥SABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥SAPC的体积大于的概率是_答案解析如图，三棱锥SABC与三棱
12、锥SAPC的高相同，要使三棱锥SAPC的体积大于，只需APC的面积大于ABC的面积的.假设点P是线段AB靠近点A的三等分点，记事件M为“三棱锥SAPC的体积大于”，则事件M发生的区域是线段PB.从而P(M).16几何概型中的“测度”典例(1)在等腰RtABC中，C90，在直角边BC上任取一点M，则CAM30的概率是_(2)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于的概率为()A. B. C. D.错解展示解析(1)因为C90，CAM30，所以所求概率为.(2)两点之间线段长为时，占长为1的线段的一半，故所求概率为.答案(1)(2)B现场纠错解析(1)因为点M在直角边BC上是等可能出现的，
13、所以“测度”是长度设直角边长为a，则所求概率为.(2)设任取两点所表示的数分别为x，y，则0x1，且0y1.由题意知|xy|n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为P.9随机地向半圆0y(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_答案解析半圆区域如图所示设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于”，由几何概型的概率计算公式得P(A).10(2017大连质检)正方形的四个顶点A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1,1)分
14、别在抛物线yx2和yx2上，如图所示若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是_答案解析正方形内空白部分面积为x2(x2)dx2x2dxx3|()，阴影部分面积为22，所以所求概率为.11已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636，由ab1，得2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2
15、,3)，(3,5)，共3个，故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6，满足ab0的基本事件的结果为A(x，y)|1x6,1y6且2xy0画出图形如图，矩形的面积为S矩形25，阴影部分的面积为S阴影252421，故满足ab0且1，即2ba.依条件可知事件的全部结果所构成的区域为，构成所求事件的区域为三角形部分所求概率区间应满足2ba.由得交点坐标为(，)，故所求事件的概率为P.13.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率解设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0x24,0y24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件构成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A为图中阴影部分，全部结果构成集合为边长是24的正方形及其内部所求概率为P(A).
