1、高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第21期5.1 平面向量的概念及线性运算基础自测1.下列等式正确的是 （填序号）.CDa+0=a a+b=b+a +0 =+答案 BA2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是 .= += -= +=0答案 3.（2008广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= .答案 a+b4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则= .答案 b-a5.设四边形ABCD中，有=，且|=|，则这个四边形是 .答案 等腰梯形例题精讲 例1 给
2、出下列命题向量的长度与向量的长度相等；向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为 .答案 4例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，+.解 =+=-a+b+c，=+，=-,=-,=,=a-b-c.+=+=2=a-2b-c.例3 设两个非零向量a与b不共线，（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A
3、、B、D三点共线；（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.（1）证明 =a+b,=2a+8b,=3(a-b),=+=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.（2）解 ka+b与a+kb共线，存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a、b是不共线的两个非零向量，k-=k-1=0，k2-1=0.k=1.例4如图所示，在ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.解 设=ma+nb，则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.=-=-=-a+b.又
4、A、M、D三点共线，与共线.存在实数t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b). (m-1)a+nb=-ta+tb. ，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1. 又=-=ma+nb-a=(m-)a+nb. =-=b-a=-a+b.又C、M、B三点共线，与共线. 存在实数t1,使得=t1,(m-)a+nb=t1，消去t1得,4m+n=1 由得m=,n=,=a+b. 巩固练习 1.下列命题中真命题的个数为 .若|a|=|b|，则a=b或a=-b;若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；若a=b,b=c,则a=c;若ab,bc,则ac.答案 12.在OAB中，延长BA到C，使AC
5、=BA，在OB上取点D，使DB=OB.DC与OA交于E，设=a，=b，用a,b表示向量，.解 因为A是BC的中点，所以=(+)，即=2-=2a-b； =-=-=2a-b-b=2a-b.3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？解 设=a，=tb，=(a+b)，=-=-a+b，=-=tb-a.要使A、B、C三点共线，只需=，即-a+b=tb-a有 ，当t=时，三向量终点在同一直线上.4.如图所示，在ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值.解 方法一 设e1=,e2=,
6、则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使=-3e2-e1， =2e1+e2，=-=（+2）e1+（3+）e2，另外=+=2e1+3e2，=,=,APPM=41.方法二 设=，=（+）=+，=+.B、P、N三点共线，-=t(-),=(1+t)-t+=1，=，APPM=41.回顾总结 知识方法思想课后练习 一、填空题1.下列算式中正确的是 （填序号）.+=0 -= 0=0 （a）=a答案 2.（2008全国理）在ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则= （用b,c表示）.答案 b+c3.若=3e1，=-5e1，且|=|，则四边形ABCD是
7、 .答案 等腰梯形4.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若=a1+b2，且点P落在第部分，则实数a，b满足a 0,b 0.(用“”,“”或“=”填空)答案 5.设=x+y，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），则x+y= .答案 16.已知平面内有一点P及一个ABC，若+=，则点P在线段 上.答案 AC7.在ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则可用a、b表示为 .答案 -a+b8.在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2,=+,则= .答案 二、解答题9.如图所示，ABC中，=，DEBC交AC于E，
8、AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，.解 =b. =-=b-a.由ADEABC，得=(b-a).由AM是ABC的中线，BC，得=(b-a).而且=+=a+=a+(b-a) =(a+b).=(a+b).10.如图所示，在ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，=a，=b.（1）用a、b表示向量、；（2）求证：B、E、F三点共线.（1）解 延长到G，使=， 连接BG、CG，得到 ABGC，所以=a+b, =(a+b), =(a+b).=b, =-=(a+b)-a=(b-2a).=-=b-a=(b-2a).(2)证明 由(1)可知=,所以B、E、F三点共线.11.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：=(+).证明 方法一 如图， E、F分别是AD、BC的中点，+=0，+=0，又+=0，=+ 同理=+ 由+得，2=+（+）+（+）=+.=(+).方法二 连结，则=+， =+，=(+)=(+)=(+).12.已知点G为ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=x，=y，求+的值.解 根据题意G为三角形的重心，故=(+)， =-=(+)-x=(-x)+, =-=y-=y-(+)=（y-）-,由于与共线，根据共线向量基本定理知=(-x)+=， =x+y-3xy=0两边同除以xy得+=3.142
