1、44对数函数44.1对数函数的概念目标 1.记住对数函数的定义、图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解答有关问题，培养直观想象核心素养重点 对数函数的定义、图象和性质难点 对数函数性质的概括总结知识点一对数函数的概念填一填1一般地，我们把函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量2对数函数ylogax的定义域为(0，)，值域为R.答一答1为什么在对数函数中要求a0，且a1?提示：根据对数式与指数式的关系知，ylogax可化为ayx，联想指数函数中底数的范围，可知a0，且a1.2下列函数是对数函数的是(C)Ayloga2x(a0，a1)Byloga(x21)(a0，a1)
2、Cylogx(a0，a1)Dy2lgx解析：在对数函数的定义表达式ylogax(a0且a1)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数所以选C.知识点二对数函数的图象与性质填一填定义ylogax(a0，且a1)底数a10a0，且a1)的草图？提示：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数ylogax的草图4对数函数ylogax(a0且a1)，当a1，x取何值时，y0？x取何值时，y0？当0a1时，若x1，则y0；若0x1，则y0.当0a1，则y0；若0x0.类型一对数函数的概念例
3、1已知对数函数f(x)的图象过点.求f(x)的解析式；解方程f(x)2.分析根据已知设出函数解析式，代入点的坐标求出对数函数的底数；然后利用“指对互化”解方程解由题意设f(x)logax(a0，且a1)，由函数图象过点可得f(4)，即loga4，所以4a，解得a16，故f(x)log16x.方程f(x)2，即log16x2，所以x162256.利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logamn，这时先把对数式logamn化为指数式的形式anm，把m化为以n为指数的指数幂形式mkn(k0，且k1)，解得ak0.还可以直接写出am，再利用指数幂的运算性质化简m.变式训练1(1)已
4、知对数函数f(x)的图象过点(8,3)，则f5.(2)已知函数f(x)(2m2m)logaxm1是对数函数，则m1.解析：(1)设f(x)logax(a0，且a1)，则3loga8，a38，a2.f(x)log2x，flog2log2255.(2)因为函数f(x)是对数函数，则解得m1.类型二对数函数图象的有关问题命题视角1：对数函数的底与图象变化的关系例2对数函数ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx在同一坐标系内的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是_解析利用数形结合法，画出直线y1判断，亦可根据在第一象限内顺时针旋转底数逐渐增大解决方法1：如图，作直线y1，则该直线
5、与各函数图象必各交于一点，由logaa1可知，各交点的横坐标分别为各函数底数，从而可知abcd.方法2：在第一象限内顺时针旋转，底数逐渐增大，故abcd.答案abcd当0a1时，对数函数的图象是上升的，而且随着a由小变大，图象上升的速度变慢变式训练2已知a0，且a1，则函数yax与yloga(x)的图象只能是(B)解析：方法一若0a1，则函数yax的图象上升且过点(0,1)，而函数yloga(x)的图象下降且过点(1,0)，只有B中图象符合方法二首先指数函数yax的图象只可能在上半平面，函数yloga(x)的图象只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，yax与yloga(x)的单调性正好
6、相反，排除D.只有B中图象符合命题视角2：图象过定点问题例3函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点_解析因为函数ylogax(a0，且a1)的图象恒过点(1,0)，则令x11得x0，此时yloga(x1)22，所以函数yloga(x1)2(a0，且a1)的图象恒过点(0，2)答案(0，2)求函数ymloga f(x)(a0，且a1)的图象过的定点时，只需令f(x)1求出x，即得定点为(x，m).变式训练3函数y2loga|1x|1(a0且a1)的图象恒过定点(0,1)或(2,1)解析：令|1x|1，则x0或2，此时y1.所以函数图象过定点(0,1)或(2,1)命题视角3：对数函数
7、图象的变换与识别例4作出函数y|log2(x1)|2的图象分析充分利用图象变换，即平移变换、翻折变换作图象解第一步：作出ylog2x的图象(如图(1)；第二步：将ylog2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度得ylog2(x1)的图象(如图(2)；第三步：将ylog2(x1)在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得y|log2(x1)|的图象(如图(3)；第四步：将y|log2(x1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，得到y|log2(x1)|2的图象(如图(4)(1)作函数图象的基本方法是列表描点法另外，对形如yf(|x|)的函数，可先作出yf(x)的图象在y轴右侧的部分，再作关于y
8、轴对称的图象，即可得到yf(|x|)的图象对于函数y|f(x)|，可先作出yf(x)的图象，然后x轴上方的不动，下方的关于x轴翻折上去即可得到y|f(x)|的图象(2)如果只需要作出函数的大致图象时，可采用图象变换的方法变式训练4画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间：(1)ylog3(x2)；(2)y|logx|.解：(1)函数ylog3(x2)的图象如图.其定义域为(2，)，值域为R，在区间(2，)上是增函数(2)y|logx|其图象如图.其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0,1上是减函数，在(1，)上是增函数类型三对数函数的定义域例5求下列函数的定义域：(1
9、)ylog5(1x)；(2)ylog1x5；(3)y .分析解(1)要使函数式有意义，需1x0，解得x1，所以函数ylog5(1x)的定义域是x|x1(2)要使函数式有意义，需解得x1，且x0，所以函数ylog1x5的定义域是x|x1，且x0(3)要使函数式有意义，需解得x1，所以函数y的定义域是.定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.变式训练5求下列函数的定义域(1)f(x)；(2)f(x).解：(1)由得定义域为(1,4)(4，)(2)由得0且x0
10、.2函数y2log5x(x1)的值域为(C)A(2，)B(，2)C2，) D3，)解析：由x1知log5x0，y2，值域是2，)3函数yloga(x1)1的图象过定点(2，1)解析：令x11，则y1，该函数过定点(2，1)4.函数f(x)的图象如图所示，则abc.解析：由题中图象可求得直线的方程为y2x2，又函数ylogc的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c，所以abc22.5设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为，求实数a的值解：a1，f(x)logax在(0，)上是增函数最大值为f(2a)，最小值为f(a)f(2a)f(a)loga2alogaa，即loga2.a4.本课须掌握的两大问题1只有形如ylogax(a0且a1)的函数才是对数函数例如，ylog3x，ylogx等都是对数函数；而ylog3(x1)，y2log3x等都不是对数函数2在对数函数ylogax(a0，且a1)中，无论a取何值，对数函数ylogax(a0，且a1)的图象均过点(1,0)，函数图象落在第一、四象限，且当0a1时函数单调递增
