1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养评价四向量的数乘运算 (15分钟30分)1.下列说法中正确的是()A.a(R)与a的方向不是相同就是相反B.若a,b共线,则b=a(R)C.若|b|=2|a|,则b=2aD.若b=2a,则|b|=2|a|【解析】选D.显然b=2a时,必有|b|=2|a|.2.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b, =7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.+=a+2b+(-5a+6b)+(7a-2b)=3a+
2、6b=3(a+2b)=3,所以A,B,D三点共线.3.(2020铜仁高一检测)在ABC中,点D为AB边上一点,且=,则=()A.+B.-C.-+D.+【解析】选A.因为=,所以-=,所以=+.【补偿训练】设D为ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-【解析】选A.由题意知=+=+=+(-)=-+.4.如图,M,N是ABC的一边BC上的两个三等分点,若=a,=b,则=_.【解析】由题意知,=,而=-=b-a,所以=(b-a)=b-a.答案:b-a5.已知向量a,b不共线,若向量a+b与b+a的方向相反,则等于.【解析】因为向量a+b与b+a的方向相反,所以(a+b)(
3、b+a),即存在一个负实数m,使得a+b=m(b+a),即(1-m)a=(m-)b.因为a与b不共线,所以1-m=m-=0,可得m=0,所以1-2=0,所以=-1.答案:-16.化简:(1)3a;【解析】(1)原式=a=-a;(2)原式=2a-2b-b+a=a-3b;(3)原式=a-b+c-a-b+c=-a-b+c.(4)原式=a+b=a+b. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若=3e1,=-5e1,且|=|,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.不等腰的梯形【解析】选C.因为=-,所以ABCD,且|.而|=|,所以四边形ABCD为等腰梯形.2.点
4、P是ABC所在平面内一点,若=+,其中R,则点P一定在()A.ABC内部B.AC边所在的直线上C.AB边所在的直线上D.BC边所在的直线上【解析】选B.因为=+,所以-=.所以=.所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.3.已知a,b是两个不共线的向量,=1a+b,=a+2b(1,2R),若A,B,C三点共线,则 ()A.1=2=-1B.1=2=1C.12+1=0D.12-1=0【解析】选D.若A,B,C三点共线,则,共线,所以存在实数,使得=,即a+2b=(1a+b),即(1-1)a=(2-)b,由于a,b不共线,所以1=1且2=,消去得12=1.4.(2020潍坊高一检测
5、)ABC内,点O满足+2+3=0,直线AO交BC于点D,则下列正确的是()A.3+2=0B.2+3=0C.-5=0D.5+=0【解析】选B.因为+2+3=0,所以2(+)=-(+).设E,F分别为AC,BC的中点,则22=-2=-2,所以O是线段EF的三等分点,所以=,因为OFAB,所以=,所以=,所以=,所以=-2+3=0,由=得=,所以=-+5=0.综上分析可知,只有选项B正确.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列命题中,正确的是()A.0a=0B.0,a0时,a与a的方向一定相反C.若b=a(a0),则=D.若|b|=|a|(a0
6、),则=|【解析】选BD.A错误,0a=0;B正确,0知,符号相反;根据向量数乘的概念及其几何意义可知,C错误,D正确.6.已知向量a,b是两个非零向量,在下列四个条件中,能使a,b共线的条件是()A.2a-3b=4e,且a+2b=-3eB.存在相异实数,使a+b=0C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0)D.已知梯形ABCD中,=a,=b【解析】选AB.由A得10a-b=0,所以a,b共线;B显然满足条件;对于C,当x=y=0时,a,b不一定共线;对于D,不一定成立,也可能是BCAD,所以a,b不一定共线.三、填空题(每小题5分,共10分)7.设向量a=3i+2j,b=2i-j,则
7、+(2b-a)=.【解析】原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.答案:-i-5j8.如图所示,在ABCD中,=a,=b,AN=3NC,M为BC的中点,则=(用a,b表示).【解析】因为=3,M为BC的中点,则=+=-=-(+)=-=(b-a).答案:(b-a)四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f,=-5e-3f.(1)用e,f表示.(2)证明四边形ABCD为梯形.【解析】(1)由题意,有=+=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)
8、e+(2-1-3)f=-8e-2f.(2)由(1)知=-8e-2f=2(-4e-f)=2,即=2.根据数乘向量的定义,与同方向,且的长度为的长度的2倍,所以在四边形ABCD中,ADBC,且ADBC,所以四边形ABCD为梯形.10.如图,在ABC中,D为BC的四等分点,且靠近点B,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.(1)试用a,b表示,;(2)证明:B,E,F三点共线.【解题指南】(1)根据平面向量的三角形法则,用,表示出向量,和即可;(2)用a,b表示出向量,证明与共线,从而证明B,E,F三点共线.【解析】(1)在ABC中,=a,=b,所以=-=b-a,=+
9、=+=a+=a+b,=+=-+=-a+b;(2)=-a+b,=+=-+所以=,所以与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.1.已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+(0,+),则点P的轨迹一定通过ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【解析】选B.为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为BAC的角平分线的方向.又0,+),所以的方向与+的方向相同.而=+,所以点P在上移动.所以点P的轨迹一定通过ABC的内心.2.设a,b,c为非零向量,其中任意两向量不共线,已知a+b与c共线,且b+c与a共线,则b与a+c是否共线?请证明你的结论.【解析】b与a+c共线,证明如下:因为a+b与c共线,所以存在唯一实数,使得a+b=c.因为b+c与a共线,所以存在唯一实数,使得b+c=a.由-,得a-c=c-a,所以(1+)a=(1+)c.又因为a与c不共线,所以1+=0,1+=0,所以=-1,=-1,所以a+b=-c,即a+b+c=0,所以a+c=-b,故a+c与b共线. 关闭Word文档返回原板块
