1、选修2-3 1.1分类记数原理和分步记数原理问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班,汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析:从甲地到乙地有3类方法,第一类方法,乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法;所以 从甲地到乙地共有4+2+3=9 种方法。（一）新课引入：问题2:如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?A村B村C村北南中北南分析:从A村经 B村去C村有2步,第一步,由A村去B村有3种方法,第
2、二步,由B村去C村有2种方法,所以 从A村经 B村去C村共有3 2=6 种不同的方法。分类记数原理:做一件事情，完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法。分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1m2mn种不同的方法。（二）新课：（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从
3、书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有 m1=4 种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有 m2=3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3=2 种不同的方法所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有N=4+3+2=9 种。（三）例题：例 1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少不同的取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不
4、同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法,从第1层中任取一本书,共有 m1=4 种不同的方法;第二类办法,从第2层中任取一本书,共有 m2=3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有 m3=2 种不同的方法所以,根据分类记数原理,得到不同选法种数共有N=4+3+2=9 种。点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”。例2.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分
5、别是1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个)例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位,第四位、需分为 四步完
6、成;第一步,m1=10;第二步,m2=10;第三步,m2=10，第四步，m4=10.根据分步记数原理,共可以设置N=101010 10=104种四位数的号码。答:首位数字不为0的号码数是N=91010 10=9103种,首位数字是0的号码数是N=11010 10=103 种。由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数。例 3.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数是多少？首位数字是0的号码数又是多少？问:若设置四个、五个、六个、十个等号码盘,号码数分别有多少
7、种？答:它们的号码种数依次是104,105,106,种。点评:分类记数原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交为空集,n类的并为全集。分步记数原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间 断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标
8、准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。课堂练习1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？课堂练习1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3 种,第二步,m2=2 种,第三步,m3=1 种,第四步,m4=1 种,所以根据分步记数原理,得到不同的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。课堂练
9、习1.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问:若用2色、3色、4色、5色等,结果又怎样呢？答:它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？AB1.ABAB2.ABAB3.BA4.BABABA5.ABABAB6.BABABA7.ABABAB8.ABABAB解:从总体上看由A到B的通电线路可分三类,第一类,m1=3 条第二类,m2=1 条第三类,m3=22=4,条所以,根据分类记数原理,从A到B共有N=3+1+4=
10、8 条不同的线路可通电。当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。ABm2m2ABm1mn.ABm1mn点评:我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”。如图:3.如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2 条第二类,m2=12=2 条第三类,m3=12=2 条所以,根据分类记数原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有 N=2+2+2=6 条。练习4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可
11、通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=23=6 种不同的走法;第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=42=8 种不同的走法;所以从甲地到丙地共有N=6+8=14 种不同的走法。小结：1.本节课学习了那些主要内容？答:分类记数原理和分步记数原理。2.分类记数原理和分步记数原理的共同点是什么？不同点什么？答:共同点是,它们都是研究完成一件事情,共有多少种不 同的方法。不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同,分类记 数原理是“分类完成”,即
12、任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步记数原理是“分步完成”,即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点。3.何时用分类记数原理、分步记数原理呢?答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用分类记数原理。完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用分步记数原理。小结：结束语两大原理妙无穷,布置作业:p.86练习 第2，3,4,题p.87习 题 第1，3,4,题茫茫数理此中求;万万千千说不尽,运用解题任驰骋。
