1、习题课平行与垂直的综合问题关键能力攻重难题型探究题型一平行和垂直关系的证明典例1如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OPOC，PAPD.求证：(1)直线PA平面BDE.(2)平面BDE平面PCD.证明(1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC的中点.又E为PC的中点，所以OEPA.因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以直线PA平面BDE.(2)因为OEPA，PAPD，所以OEPD.因为OPOC，E为PC的中点，所以OEPC.又PD平面PCD，PC平面PCD，PCPDP，所以OE平面PCD.因为OE平面
2、BDE，所以平面BDE平面PCD.归纳提升(1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行.(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问题时，经常采取“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”的转化思想进行推理.【对点练习】在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1B
3、C.证明(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1A1B.因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.题型二立体几何中的折叠问题典例2如图1所示，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将AC
4、D沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，得到如图2所示的几何体DABC.(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积.解析(1)证明：AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos458，AB2AC2BC216，ACBC.平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线.由(1)知，几何体FBCE的体积VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，V
5、FBCE2.归纳提升平面图形翻折为空间图形问题的解题关键是看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征.解决此类问题的步骤为：【对点练习】(2020湖南师范大学附属中学高二期中)如图(1)，在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CD2，AB4，ADBC.沿EF将梯形AFED折起，使得AFB60，如图(2).(1)若G为FB的中点，求证：AG平面BCEF.(2)求二面角CABF的正切值.解析(1)证明：因为AFBF，AFB60，所以AFB为等边三角形.又G为FB的中点，所以AG
6、FB.在等腰梯形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，所以EFAB.于是EFAF，EFBF.又AFBFF，所以EF平面ABF.因为AG平面ABF，所以AGEF.又AGBF，EFBFF，所以AG平面BCEF.(2)如图，连接CG.因为在等腰梯形ABCD中，CD2，AB4，点E，F分别是CD，AB的中点，G为FB的中点，所以ECFGBG1，从而CGEF.因为EF平面ABF，所以CG平面ABF.如图，过点G作GHAB于H，连接CH.由三垂线定理可得CHAB，所以CHG为二面角CABF的平面角.在RtBHG中，BG1，GBH60，所以GH.在RtCGB中，CGBG，BG1，BC，所以CG1因为CG
7、平面ABF，GH平面ABF，所以CGGH.在RtCGH中，可得tanCHG，所以二面角CABF的正切值为.题型三立体几何中的探索性问题典例3如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由.解析(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)当P为A
8、M的中点时，MC平面PBD.理由如下：如图，连接AC交BD于O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点.连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.归纳提升探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算.在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在.【对点练习】如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是圆内接四边形(记此圆为W)，且PA平面ABCD.(1)当BD是圆W的直径时，PABD2，ADCD，求四棱锥PABCD的体积.(2)在(1)的条件下，判断在棱PA上是否存在一点Q，使得BQ平面PCD？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由.解析(1)因为BD是圆W的直径，所以BAAD，因为BD2，AD，所以AB1同理BC1，所以S四边形ABCDABAD.因为PA平面ABCD，PA2，所以四棱锥PABCD的体积VS四边形ABCDPA.(2)存在，AQ.理由如下.延长AB，DC交于点E，连接PE，则平面PAB与平面PCD的交线是PE.假设在棱PA上存在一点Q，使得BQ平面PCD，则BQPE，所以.经计算可得BE2，所以AEABBE3，所以AQ.故存在这样的点Q，使BQ平面PCD，且AQ.
